Фильтрация двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей в тонком пороупругом слое

Фильтрация двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей в тонком пороупругом слое

Гилев П. В., Папин А. А.
Сибирский журнал индустриальной математики, 27, 2(98), 20-33 (2024)
Скачать статью

УДК 517.95:532.64 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2024.27.202

Аннотация:

В работе рассматривается математическая модель совместного движения двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей в пороупругой среде. Данная модель является обобщением классической модели Маскета—Леверетта, в которой пористость считается заданной функцией пространственной координаты. В основе изучаемой модели лежат уравнения сохранения массы жидкостей и пористого скелета, закон Дарси для жидкостей, учитывающий движение пористого скелета, формула Лапласа для капиллярного давления, реологическое уравнение для пористости типа Максвелла и условие равновесия «системы в целом». В приближении тонкого слоя исходная задача сводится к последовательному определению пористости твёрдого скелета и его скорости, а затем выводится эллиптикопараболическая система для «приведённого давления» и насыщенности смачивающей фазы. В связи с вырождением на решении уравнений системы её решение понимается в обобщённом смысле. Доказательство теоремы существования проводится в четыре этапа: регуляризация задачи, доказательство физического принципа максимума для насыщенности, построение галёркинских приближений, предельный переход по параметрам регуляризации на основе метода компенсированной компактности.

Литература:
  1. Папин А. А., Подладчиков Ю. Ю. Изотермическое движение двух несмешивающихся жидкостей в пороупругой среде // Изв. АГУ. 2015. № 1–2. С. 131-135; DOI: 10.14258/izvasu(2015)1.2-24
     
  2. Connolly J. A. D., Podladchikov Y. Y. Compaction-driven fluid flow in viscoelastic rock // Geodin. Acta. 1998. V. 11, N 2. P. 55–84.
     
  3. Athy L. F. Density, porosity, and compaction of sedimentary rocks // Am. Assoc. Pet. Geol. Bull. 1930. V. 14, N 1. P. 1–24.
     
  4. Lee J. J. Modelling and simulation of compacting sedimentary basins: Ph.D. Dissertation. Oxford: University of Oxford, 2019.
     
  5. Terzaghi K. Der Grundbruch an Stauwerken und seine Verhütung // Die Wasserkraft. 1922. N 17. P. 445–449.
     
  6. Waldner P. A., Schneebeli M., Schultze-Zimmermann U., Fluhler H. Effect of snow structure on water flow and solute transport // Hydrol. Process. 2008. V. 18, N 7. P. 1271–1290.
     
  7. Хасанов Р. Р., Смирнова А. Р. Экспериментальные исследования физических характеристик предварительно обжатых глинистых грунтов при замачивании // Междунар. науч.-исслед. журн. 2017. № 12(66). С. 178–182; DOI: 10.23670/IRJ.2017.66.130
     
  8. Shelukhin V. V A poroelastic medium saturated by a two-phase capillary fluid // Contin. Mech. Thermodyn. 2014. V. 26, N 5. P. 619–638; DOI: 10.1007/s00161-013-0321-x
     
  9. Jardani A., Revil A. Seismoelectric couplings in a poroelastic material containing two immiscible fluid phases // Geophys. J. Int. 2015. V. 202, N 2. P. 850–870; DOI: 10.1093/gji/ggv176
     
  10. Папин А. А., Сибин А. Н. Автомодельное решение задачи поршневого вытеснения жидкостей в пороупругой среде // Изв. АГУ. 2016. № 1. С. 152–156; DOI: 10.14258/izvasu(2016)1-27
     
  11. Гилев П. В., Папин А. А. Исследование задачи двухфазной фильтрации в пороупругой среде в приближении двумерной ячейки Хеле—Шоу // Сб. тезисов «Евразийской конференции по прикладной математике». 2021. С. 31.
     
  12. Антонцев С. Н., Кажихов А. В., Монахов В. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983.
     
  13. Алексеев Г. В., Хуснутдинова Н. В. О разрешимости первой краевой задачи для уравнения одномерной фильтрации двухфазной жидкости // Доклады АН СССР. 1972. Т. 202, № 2. С.310–312.
     
  14. Simpson M., Spiegelman M., Weinstein M. I. Degenerate Dispersive Equations Arising in the Study of Magma Dynamics // Nonlinearity. 2007. V. 20, N 1. P. 21–49; DOI: 10.1088/0951-7715/20/1/003
     
  15. Papin A. A., Tokareva M. A. On local solvability of the system of the equations of one dimentional motion of magma // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 2017. V. 10, N 3. P. 385–395; DOI: 10.17516/1997-1397-2017-10-3-385-395
     
  16. Virts R., Papin A., Tokareva M. Non-isothermal filtration of a viscous compressible fluid in a viscoelastic porous medium // J. Phys. Conf. Ser. 2020. Article 012041; DOI: 10.1088/1742-6596/1666/1/012041
     
  17. Токарева М. А., Папин А. А. Глобальная разрешимость системы уравнений одномерного движения вязкой жидкости в деформируемой вязкой пористой среде // Сиб. журн. индустр. матем. 2019. Т. 22, № 2(78). С. 81–93; DOI: 10.1134/S1990478919020169
     
  18. Morency C., Tromp J. Spectral-element simulations of wave propagation in porous media // Geophys. J. Int. 2008. V. 175, N 1. P. 301–345.
     
  19. Chengwei Z., Chong P., Wei W., Chun W. A multi-layer SPH method for generic water-soil dynamic coupling problems. Part I: Revisit, theory, and validation // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 2022. V. 396. Article 115106; DOI: 10.1016/j.cma.2022.115106
     
  20. Бочаров О. Б., Рудяк В. Я., Серяков А. В. Простейшие модели деформирования пороупругой среды, насыщенной флюидами // Физико-техн. пробл. разраб. полезн. ископ. 2014. № 2. С. 54–68.
     
  21. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.
     
  22. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках государственного задания Института математики и информационных технологий по теме «Современные модели гидродинамики для задач природопользования, индустриальных систем и полярной механики» (проект FZMW-2024-0003). Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

П. В. Гилев
  1. Алтайский государственный университет, Институт математики и информационных технологий, 
    просп. Ленина, 61, г. Барнаул 656049, Россия

E-mail: pavel.gilev.2000@mail.ru

А. А. Папин
  1. Алтайский государственный университет, Институт математики и информационных технологий, 
    просп. Ленина, 61, г. Барнаул 656049, Россия

E-mail: papin@math.asu.ru

Статья поступила 02.11.2023 г
После доработки — 06.03.2024 г.
Принята к публикации 17.04.2024 г.

Abstract:

The paper considers a mathematical model of the filtration of two immiscible incompressible fluids in deformable porous media. This model is a generalization of the Musket— Leverett model, in which porosity is a function of the space coordinates. The model under study is based on the equations of conservation of mass of liquids and porous skeleton, Darcy’s law for liquids, accounting for the motion of the porous skeleton, Laplace’s formula for capillary pressure, and a Maxwell-type rheological equation for porosity and the equilibrium condition of the “system as a whole”. In the thin layer approximation, the original problem is reduced to the successive determination of the porosity of the solid skeleton and its speed, and then the ellipticparabolic system for the “reduced” pressure and saturation of the fluid phase is derived. In view of the degeneracy of equations on the solution, the solution is understood in a weak sense. The proofs of the results are carried out in four stages: regularization of the problem, proof of the maximum principle, construction of Galerkin approximations, and passage to the limit in terms of the regularization parameters based on the compensated compactness principle.

References:
  1. A. A. Papin and Yu. Yu. Podladchikov, “Isothermal motion of two immiscible fluids in a poroelastic medium,” Izv. Altaisk. Gos. Univ., (1–2), 131-135 (2015) [in Russian]. https://doi.org/10.14258/izvasu(2015)1.2-24
     
  2. J. A. D. Connolly and Yu. Yu. Podladchikov, “Compaction-driven fluid flow in viscoelastic rock,” Geodin. Acta 11 (2), 55–84 (1998).
     
  3. L. F. Athy, “Density, porosity, and compaction of sedimentary rocks,” Am. Assoc. Pet. Geol. Bull. 14 (1), 1–24 (1930).
     
  4. J. J. Lee, “Modelling and simulation of compacting sedimentary basins,” Ph.D. Dissertation (Univ. Oxford, Oxford, 2019).
     
  5. K. Terzaghi, “Der Grundbruch an Stauwerken und seine Verhütung,” Die Wasserkraft (17), 445–449 (1922).
     
  6. P. A. Waldner, M. Schneebeli, U. Schultze-Zimmermann, and H. Fluhler, “Effect of snow structure on water flow and solute transport,” Hydrol. Process. 18 (7), 1271–1290 (2008).
     
  7. R. R. Khasanov and A. R. Smirnova, “Experimental studies of physical characteristics of precompressed clay soils during soaking,” Mezhdunar. Nauchn.–Issled. Zh. (12 (66)), 178–182 (2017). https://doi.org/10.23670/IRJ.2017.66.130
     
  8. V. V. Shelukhin, “A poroelastic medium saturated by a two-phase capillary fluid,” Contin. Mech. Thermodyn. 26 (5), 619–638 (2014). https://doi.org/10.1007/s00161-013-0321-x
     
  9. A. Jardani and A. Revil, “Seismoelectric couplings in a poroelastic material containing two immiscible fluid phases,” Geophys. J. Int. 202 (2), 850–870 (2015). https://doi.org/10.1093/gji/ggv176
     
  10. A. A. Papin and A. N. Sibin, “Self-similar solution of the problem of piston displacement of liquids in a poroelastic medium,” Izv. Altaisk. Gos. Univ., (1), 152–156 (2016) [in Russian]. https://doi.org/10.14258/izvasu(2016)1-27
     
  11. P. V. Gilev and A. A. Papin, “Study of the problem of two-phase filtration in a poroelastic medium in the approximation of a two-dimensional Hele—Shaw cell,” Sb. tezisov Evraziisk. konf. prikl. mat (Coll. Abstr. Eurasian Conf. Appl. Math.) (2021), p. 31 [in Russian].
     
  12. S. N. Antontsev, A. V. Kazhikhov, and V. N. Monakhov, Boundary Value Problems of Mechanics of Inhomogeneous Fluids (Nauka, Novosibirsk, 1983) [in Russian].
     
  13. G. V. Alekseev and N. V. Khusnutdinova, “On the solvability of the first boundary value problem for the equation of one-dimensional filtration of a two-phase fluid,” Dokl. Akad. Nauk SSSR 202 (2), 310–312 (1972) [in Russian].
     
  14. M. Simpson, M. Spiegelman, and M. I. Weinstein, “Degenerate dispersive equations arising in the study of magma dynamics,” Nonlinearity 20 (1), 21–49 (2007). https://doi.org/10.1088/0951-7715/20/1/003
     
  15. A. A. Papin and M. A. Tokareva, “On local solvability of the system of the equations of one dimensional motion of magma,” J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 10 (3), 385–395 (2017). https://doi.org/10.17516/1997-1397-2017-10-3-385-395
     
  16. R. Virts, A. Papin, and M. Tokareva, “Non-isothermal filtration of a viscous compressible fluid in a viscoelastic porous medium,” J. Phys. Conf. Ser., 012041 (2020). https://doi.org/10.1088/1742- 6596/1666/1/012041
     
  17. M. A. Tokareva and A. A. Papin, “Global solvability of a system of equations of one-dimensional motion of a viscous fluid in a deformable viscous porous medium,” J. Appl. Ind. Math. 13 (2), 350–362 (2019). https://doi.org/10.1134/S1990478919020169
     
  18. C. Morency and J. Tromp, “Spectral-element simulations of wave propagation in porous media,” Geophys. J. Int. 175 (1), 301–345 (2008).
     
  19. Z. Chengwei, P. Chong, W.Wei, and W. Chun, “A multi-layer SPH method for generic water-soil dynamic coupling problems. Part I: Revisit, theory, and validation,” Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 396, 115106 (2022). https://doi.org/10.1016/j.cma.2022.115106
     
  20. O. B. Bocharov, V. Ya. Rudyak, and A. V. Seryakov, “The simplest models of deformation of a poroelastic medium saturated with fluids,” Fiz.-Tekh. Probl. Razrab. Polezn. Iskop. (2), 54–68 (2014) [in Russian].
     
  21. O. A. Ladyzhenskaya, V. A. Solonnikov, and N. N. Ural’tseva, Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type (Nauka, Moscow, 1967) [in Russian].
     
  22. B. L. Rozhdestvenskii and N. N. Yanenko, Systems of Quasilinear Equations (Nauka, Moscow, 1978) [in Russian].