Неклассическая задача для процесса поперечных колебаний системы струн

Неклассическая задача для процесса поперечных колебаний системы струн

Коновалова Д. С.
Сибирский журнал индустриальной математики, 28, 1(101), 15-25 (2025)
Скачать статью

УДК 517.958 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2025.28.102

Аннотация:

В работе рассматривается процесс поперечных колебаний двух струн, соединённых между собой в некоторой точке. Построена математическая модель этого процесса, в основе которой лежит закон сохранения количества движения, выраженный в форме интегро-дифференциального уравнения. Это уравнение связывает отклонения струн в процессе колебаний с их характеристиками, такими как плотность, натяжение, источники внешних сил. Этот подход можно рассматривать как развитие метода, предложенного А. Н. Тихоновым для уравнения колебаний струны с негладкими данными. Для случая когда плотности струн постоянны и, вообще говоря, не совпадают, сформулирована неклассическая задача, содержащая, помимо данных Коши, необходимые условия согласования. Доказана теорема существования и единственности решения поставленной задачи, получены явные формулы её решения.

Литература:
  1. Vinohradov M., Ponomarenko O., Moshensky A., Savchenko A. Conformal Mapping of Discontinuous Functions for Inverse Radon Transform // Systems, Decision and Control in Energy V. Studies in Systems, Decision and Control. 2023. V. 481. P. 115–126; DOI: 10.1007/978-3-031-35088-7_8
     
  2. Katsevich A. Analysis of Reconstruction from Discrete Radon Transform Data in $R^3$ When the Function Has Jump Discontinuities // SIAM J. Math. Anal. 2020. V. 52, N 4. P. 3990–4021; DOI: 10.1137/191295039
     
  3. Баев А. В. Использование преобразования Радона для решения обратной задачи рассеяния в плоской слоистой акустической среде // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2018. Т. 58, № 4. С. 550–560.
     
  4. Anikonov D. S., Kazantsev S. G., Konovalova D. S. A uniqueness result for the inverse problem of identifying boundaries from weighted Radon transform // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2023. V. 31, N 6. P. 959–965; DOI: 10.1515/jiip-2023-0038
     
  5. Аниконов Д. С., Коновалова Д. С. Формула обращения преобразования Радона в классе разрывных функций // Сиб. журн. индустр. матем. 2024. Т. 27, № 3. С. 5–11; DOI: 10.33048/SIBJIM.2024.27.301
     
  6. Ильин В. А. О приведении в произвольно заданное состояние колебаний первоначально покоящегося стержня, состоящего из двух разнородных участков // Докл. РАН. 2010. Т. 435, № 6. С. 732–735.
     
  7. Ильин В. А., Луференко П. В. Смешанные задачи описывающие придольные колебания стержня, состоящего из двух участков, имеющих разные плотности и разные упругости, но одинаковые импедансы // Докл. РАН. 2009. Т. 428, № 1. С. 12–15.
     
  8. Аниконов Д. С., Коновалова Д. С. Обобщённая формула Даламбера для волнового уравнения с разрывными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55, № 2. С. 265–268; DOI: 10.1134/S0374064119020134
     
  9. Кожанов А. И., Кенжебай Х. Краевые задачи с интегро-дифференциальным нелокальным условием для дифференциальных уравнений составного типа четвёртого порядка // Челяб. физ.-матем. журн. 2023. Т. 8, № 4. С. 516–527.
     
  10. Кожанов А. И. Нелокальные задачи с обобщённым условием Самарского—Ионкина для некоторых классов нестационарных дифференциальных уравнений // Докл. РАН. 2023. Т. 509. С. 50–53.
     
  11. Кожанов А. И., Дюжева А. В. Интегральный аналог первой начально-краевой задачи для гиперболических и параболических уравнений второго порядка // Матем. заметки. 2022. Т. 111, № 4. С. 540–550.
     
  12. Данилюк И. М., Данилюк А. О. Задача Неймана с интегро-дифференциальным оператором в краевом условии // Матем. заметки. 2016. Т. 100, № 5. С. 701–709.
     
  13. Sharma B. L., Eremeyev V. A. Wave transmission across surface interfaces in lattice structures // Int. J. Eng. Sci. 2019. V. 145. P. 1–16; DOI: 10.1016/j.ijengsci.2019.103173
     
  14. Berinskii I. E., Slepyan L. I. How a dissimilar-chain system is splitting: Quasi-static, subsonic and supersonic regimes // J. Mech. Phys. Solids. 2017. V. 107. P. 509–524; DOI: 10.1016/j.jmps.2017.07.014
     
  15. Sharma B. Near-tip field for diffraction on square lattice by rigid constraint // Z. Angew. Math. Phys. 2015. V. 66. P. 2719–2740; DOI: 10.1007/s00033-015-0508-z
     
  16. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М: Наука, 1977.

Работа выполнена в рамках государственного задания Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН (проект FWNF-2022-0009). Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

Д. С. Коновалова
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    просп. Акад. Коптюга, 4, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: dsk@math.nsc.ru

Статья поступила 02.08.2024 г.
После доработки — 27.02.2025 г.
Принята к публикации 10.03.2025 г.

Abstract:

The paper considers the transverse vibrations of two strings connected to each other at a certain point. A mathematical model of this process, based on the law of conservation of momentum, expressed in the form of an integro-differential equation is constructed. This equation connects the deviations of the strings during vibrations with their characteristics such as density, tension, and sources of external forces. This approach can be considered as a development of the method proposed by A. N. Tikhonov for the equation of string vibrations with nonsmooth data. For the case where the densities of the strings are constants, we set a nonclassical problem for the integro-differential equation. In addition to the Cauchy data, the problem includes necessary matching conditions. A theorem on the existence and uniqueness of a solution to the problem is proved, and explicit formulas are obtained for its solution.

References:
  1. M. Vinohradov, O. Ponomarenko, A. Moshensky, and A. Savchenko, “Conformal mapping of discontinuous functions for inverse radon transform,” Syst. Decis. Control Energy V. Stud. Syst. Decis. Control 481, pp. 115–126 (2023). https://doi.org/10.1007/978-3-031-35088-7_8
     
  2. A. Katsevich, “Analysis of reconstruction from discrete radon transform data in $R^3$ when the function has jump discontinuities,” SIAM J. Math. Anal. 52 (4), pp. 3990–4021 (2020). https://doi.org/10.1137/191295039
     
  3. A. V. Baev, “Using the Radon transform to solve the inverse scattering problem in a plane layered acoustic medium,” Comput. Math. Math. Phys. 58 (4), pp. 537–547 (2018).
     
  4. D. S. Anikonov, S. G. Kazantsev, and D. S. Konovalova, “A uniqueness result for the inverse problem of identifying boundaries from weighted Radon transform,” J. Inverse Ill-Posed Probl. 31 (6), pp. 959–965 (2023). https://doi.org/10.1515/jiip-2023-0038
     
  5. D. S. Anikonov and D. S. Konovalova, “Radon transform inversion formula in the class of discontinuous functions,” J. Appl. Ind. Math. 18 (3), pp. 379–383 (2024). https://doi.org/10.1134/S1990478924030013
     
  6. V. A. Il’in, “Reduction of the vibrations of an initially stationary rod consisting of two different segments to an arbitrary state,” Dokl. Math. 82 (3), pp. 955–958 (2010).
     
  7. V. A. Il’in and P. V. Luferenko, “Mixed problems describing longitudinal oscillations of a rod consisting of two segments with different densities and different elasticities but equal impedances,” Dokl. Math. 80 (2), pp. 642–645 (2009).
     
  8. D. S. Anikonov, D. S. Konovalova, “Generalized d’Alembert formula for the wave equation with discontinuous coefficients,” Differ. Equations 55 (2), pp. 270–273 (2019).
     
  9. A. I. Kozhanov and Kh. Kenzhebai, “Boundary value problems with an integro-differential non-local condition for composite-type differential equations of the fourth order,” Chelyab. Fiz.-Mat. Zh. 8 (4), pp. 516–527 (2023) [in Russian].
     
  10. A. I. Kozhanov, “Nonlocal problems with generalized Samarskii–Ionkin condition for some classes of nonstationary differential equations,” Dokl. Math. 107 (1), pp. 40–43 (2023). https://doi.org/10.1134/S106456242370045X
     
  11. A. I. Kozhanov and A. V. Dyuzheva, “Integral analogue of the first initial–boundary value problem for second-order hyperbolic and parabolic equations,” Math. Notes 111 (4), pp. 562–570 (2022). https://doi.org/10.1134/S0001434622030245
     
  12. I. M. Danyliuk and A. O. Danyliuk, “Neumann problem with the integro-differential operator in the boundary condition,” Math. Notes 100 (5), pp. 687–694 (2016). https://doi.org/10.1134/S0001434616110055
     
  13. B. L. Sharma and V. A. Eremeyev, “Wave transmission across surface interfaces in lattice structures,” Int. J. Eng. Sci. 145, pp. 1–16 (2019). https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2019.103173
     
  14. I. E. Berinskii and L. I. Slepyan, “How a dissimilar-chain system is splitting: Quasi-static, subsonic and supersonic regimes,” J. Mech. Phys. Solids. 107, pp. 509–524 (2017). https://doi.org/10.1016/j.jmps.2017.07.014 
     
  15. B. Sharma, “Near-tip field for diffraction on square lattice by rigid constraint,” Z. Angew. Math. Phys. 66, pp. 2719–2740 (2015). https://doi.org/10.1007/s00033-015-0508-z
     
  16. A. N. Tikhonov and A. A. Samarskii, Equations of Mathematical Physics (Nauka, Moscow, 1977) [in Russian].