Гомогенизация нестационарной модели линейной теории упругости с учётом временной корреляции фаз в гетерогенной структуре

Гомогенизация нестационарной модели линейной теории упругости с учётом временной корреляции фаз в гетерогенной структуре

Мишин А. В.
Сибирский журнал индустриальной математики, 28, 1(101), 26-37 (2025)
Скачать статью

УДК 539.3 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2025.28.103

Аннотация:

В работе представлена гомогенизация нестационарной модели линейной теории упругости методом условных моментов, в результате которой получены эффективные коэффициенты линейной теории упругости и эффективная плотность. В результате выполнения операций полученные эффективные коэффициенты зависят от масштабов корреляции фаз по времени и пространству и являются взаимозависимыми. Возникновение масштабов корреляции является следствием вычисления интегралов, содержащих функцию Грина (решение для оператора нестационарной модели линейной теории упругости) и корреляционную по времени и пространству функцию структуры. Исследована эффективная плотность.

Литература:
  1. Шермергор Д. Т. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977.
     
  2. Khoroshun L. P. Mathematical models and methods of the mechanics of stochastic composites // Appl. Mech. 2000. V. 30, N 10. P. 30–62.
     
  3. Christensen. R. M. Theory of Viscoelasticity. N. Y.: Academic Press, 1982.
     
  4. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978.
     
  5. Khoroshun L. P. A new mathematical model of the nonuniform deformation of composites // Mekh. Kompos. Mater. 1995. V. 31, N 3. P. 310–318.
     
  6. Khoroshun L. P. Conditional-moment method in problems of the mechanics of composite materials // Appl. Mech. 1987. V. 23, N 10. P. 100–108.
     
  7. Hashin Z., Shtrikman S. On some variational principles in anisotropic and nonhomogeneous elasticity // J. Mech. Phys. Solids. 1962. V. 10, N 4. P. 335–342.
     
  8. Hashin Z., Shtrikman S. A variational approach to the theory of the elastic behavior of multiphase materials // J. Mech. Phys. Solids. 1963. V. 11, N 2. P. 127–140.
     
  9. Bruggeman D. A. G. Berechnung verschiedener physikalischer Konstanten von heterogenen Substanzen. II. Dielektrizitätskonstanten und Leitfähigkeiten von Vielrkistallen der nichtregularen Systeme // Ann. Phys. 1936. V. 417, N 25. P. 645–672.
     
  10. Kroner E. Berechnung der elastischen Konstanten des Vielkristalls aus den Konstanten des Einkristalls // Z. Phys. 1958. V. 151, N 4. P. 504–518.
     
  11. Hill R.A. A self-consistent mechanics of composite materials // J. Mech. Phys. Solids. 1965. V. 13, N 4. P. 213–222.
     
  12. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. М.: МИЛ, 1963.
     
  13. Khoroshun L. P. Random functions theory in problems on the macroscopic characteristics of microinhomogeneous media // Appl. Mech. 1978. V. 14. P. 3–17.
     
  14. Болотин В. В., Москаленко В. Н. Задача об определении упругих постоянных микронеоднородной среды // Прикл. мех. техн. физ. 1968. Т. 9, № 1. С. 66–72.
     
  15. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984.
     
  16. Мишин А. В. Обобщённая производная и её использование для анализа микроструктуры гетерогенной среды // Сиб. журн. индустр. матем. 2021. Т. 24, № 4. С. 79–96; DOI: 10.33048/SIBJIM.2021.24.406
     
  17. Mishin A. V., Fomin V. M. Analysis of the Behavior of Heterogeneous Media with Significantly Differing Physical Properties with Allowance for the Effective Dimension of the Space and Generalized Derivative Formalism // Mech. Solids. 2022. V. 57. P. 2005–2019.
     
  18. Fedotov A. The hybrid homogenization model of elastic anisotropic porous materials // J. Mater. Sci. 2018. V. 53, N 7. P. 5092–5102.
     
  19. Danas K., Ponte Castañeda P. A finite-strain model for anisotropic viscoplastic porous media: I - Theory // Eur. J. Mech. A Solids. 2009. V. 28, N 3. P. 387–401.
     
  20. Лурье С. А., Соляев Ю. О. Модифицированный метод Эшелби в задаче определения эффективных свойств со сферическими микро- и нановключениями // Вестн. ПНИПУ. Механика. 2010. № 1. С. 80–90. 
     
  21. Gao J., Buldyrev S. V., Stanley H. E., Havlin S. Networks formed from interdependent networks // Nature Phys. 2012. V. 8, N 1. P. 40–48.
     
  22. Ходаков Г. С. Реология суспензий. Теория фазового течения и её экспериментальное обоснование // Рос. хим. журн. 2003. № 2. С. 33–44.
     
  23. Moshev V. V. Kozhevnikova L. L. Predictive potentialities of a cylindrical structural cell for particulate elastomeric composites // Int. J. Solids Struct. 2000. V. 37. N 7.

Работа выполнена за счёт средств бюджетов Института теоретической и прикладной механики им. Христиановича СО РАН и Новосибирского государственный университета. Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

А. В. Мишин
  1. Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН, 
    ул. Институтская, 4/1, г. Новосибирск 630090, Россия
  2. Новосибирский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 1, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: alekseymishin1994@gmail.com

Статья поступила 27.10.2024 г.
После доработки — 15.04.2025 г.
Принята к публикации 22.04.2025 г.

Abstract:

The paper presents the homogenization of the nonstationary model of the linear theory of elasticity by the method of conditional moments, as a result of which the effective coefficients of the linear theory of elasticity and the effective density are obtained. As a result of performing operations, the obtained effective coefficients depend on the scales of phase correlation in time and space and are interdependent. The occurrence of correlation scales is a consequence of calculating the integrals containing the Green’s function (the solution for the operator of the nonstationary model of the linear theory of elasticity) and the correlation function of the structure in time and space. The effective density is investigated.

References:
  1. T. D. Shermergor, Elasticity Theory for Microinhomogeneous Materials (Nauka, Moscow, 1977) [in Russian].
     
  2. L. P. Khoroshun, “Mathematical models and methods of the mechanics of stochastic composites,” Appl. Mech. 30 (10), 30–62 (2000).
     
  3. R. M. Christensen, Theory of Viscoelasticity (Academic Press, New York, 1982).
     
  4. R. I. Nigmatulin, Fundamentals of Mechanics of Heterogeneous Media (Nauka, Moscow, 1978) [in Russian].
     
  5. L. P. Khoroshun, “A new mathematical model of the nonuniform deformation of composites,” Mekh. Kompoz. Mater. 31 (3), 310–318 (1995) [in Russian].
     
  6. L. P. Khoroshun, “Conditional-moment method in problems of the mechanics of composite materials,” Appl. Mech. 23 (10), 100–108 (1987).
     
  7. Z. Hashin and S. Shtrikman, “On some variational principles in anisotropic and nonhomogeneous elasticity,” J. Mech. Phys. Solids 10 (4), 335–342 (1962).
     
  8. Z. Hashin and S. Shtrikman, “A variational approach to the theory of the elastic behavior of multiphase materials,” J. Mech. Phys. Solids 11 (2), 127–140 (1963).
     
  9. D. A. G. Bruggeman, “Berechnung verschiedener physikalischer Konstanten von heterogenen Substanzen. II. Dielektrizitätskonstanten und Leitfähigkeiten von Vielrkistallen der nichtregularen Systeme,” Ann. Phys. 417 (25), 645–672 (1936).
     
  10. E. Kroner, “Berechnung der elastischen Konstanten des Vielkristalls aus den Konstanten des Einkristalls,” Z. Phys. 151 (4), 504–518 (1958).
     
  11. R. A. Hill, “A self-consistent mechanics of composite materials,” J. Mech. Phys. Solids 13 (4), 213–222 (1965).
     
  12. J. D. Eshelby, The Continuum Theory of Dislocations (Izd. Inostr. Lit., Moscow, 1963) [in Russian].
     
  13. L. P. Khoroshun, “Random functions theory in problems on the macroscopic characteristics of microinhomogeneous media,” Appl. Mech. 14, 3–17 (1978).
     
  14. V. V. Bolotin and V. N. Moskalenko, “Determination of the elastic constants of a micro inhomogeneous medium,” Zh. Prikl. Mekh. Tekh. Fiz. 34 (1), 66–72 (1968) [in Russian].
     
  15. N. S. Bakhvalov and G. P. Panasenko, Averaging of Processes in Periodic Media (Nauka, Moscow, 1984) [in Russian].
     
  16. A. V. Mishin, “The generalized derivative and its use in the analysis of the microstructure of a heterogeneous medium,” J. Appl. Ind. Math. 15 (4), 631–646 (2021). https://doi.org/10.1134/S1990478921040074
     
  17. A. V. Mishin and V. M. Fomin, “Analysis of the behavior of heterogeneous media with significantly differing physical properties with allowance for the effective dimension of the space and generalized derivative formalism,” Mech. Solids 57, 2005–2019 (2022).
     
  18. A. Fedotov, “The hybrid homogenization model of elastic anisotropic porous materials,” J. Mater. Sci. 53 (7), 5092–5102 (2018).
     
  19. K. Danas and P. Ponte Castañeda, “A finite-strain model for anisotropic viscoplastic porous media: ITheory,” Eur. J. Mech. A Solids 28 (3), 387–401 (2009).
     
  20. S. A. Lurie and Yu. O. Solyaev, “Modified Eshelby method in the problem of determining effective properties with spherical micro- and nanoinclusions,” Vestn. PNIPU. Mekh. (1), 80–90 (2010) [in Russian].
     
  21. J. Gao, S. V. Buldyrev, H. E. Stanley, and S. Havlin, “Networks formed from interdependent networks,” Nature Phys. 8 (1), 40–48 (2012).
     
  22. G. S. Khodakov, “Rheology of suspensions. Theory of phase flow and its experimental substantiation,” Ross. Khim. Zh. (2), 33–44 (2003) [in Russian].
     
  23. V. V. Moshev and L. L. Kozhevnikova, “Predictive potentialities of a cylindrical structural cell for particulate elastomeric composites,” Int. J. Solids Struct. 37 (7), (2000).