Задача о краевой дислокации, бегущей со сверхсейсмической скоростью

Задача о краевой дислокации, бегущей со сверхсейсмической скоростью

Садовский В. М., Садовская О. В.
Сибирский журнал индустриальной математики, 28, 1(101), 67-79 (2025)
Скачать статью

УДК 539.37 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2025.28.105

Аннотация:

В качестве модели сдвигового разрыва в земной коре на глубинах сейсмической активности, растущего со сверхсейсмической скоростью, т. е. скоростью, превышающей скорость продольных волн, рассматривается краевая дислокация Вольтерра, движущаяся в безграничной изотропной упругой среде под действием предварительных касательных напряжений. В приближении плоской деформации уравнения стационарного движения среды вокруг дислокации приводятся к гиперболической системе уравнений для скоростей и напряжений, которая интегрируется методом характеристик. С помощью инвариантного $J$-интеграла получена оценка энергии, высвобождающейся по мере продвижения дислокации, в зависимости от скорости, величины касательного напряжения на бесконечности, длины веера, примыкающего к вершине, и от характера распределения вектора Бюргерса в веере.

Литература:
  1. Ortlepp W. D. Rock fracture and rockbursts: An illustrative study. Monograph series M9. Johannesburg: South African Institute of Mining and Metallurgy, 1997.
     
  2. McGarr A. F., Simpson D., Seeber L. Case histories of induced and triggered seismicity // Int. Handb. Earthquake Eng. Seismol. 2002. V. 81, N 40. P. 647–661; DOI: 10.1016/S0074-6142(02)80243-1
     
  3. Otsuki K., Dilov T. Evolution of hierarchical self-similar geometry of experimental fault zones: Implications for seismic nucleation and earthquake size // J. Geophys. Res. 2005. V. 110, N B3. Article B03303; DOI: 10.1029/2004JB003359
     
  4. Rosakis A. J., Samudrala O., Coker D. Cracks faster than the shear wave speed // Science. 1999. V. 284, N 5418. P. 1337–1340; DOI: 10.1126/science.284.5418.1337
     
  5. Gori M., Rubino V., Rosakis A. J., Lapusta N. Pressure shock fronts formed by ultra-fast shear cracks in viscoelastic materials // Nature Commun. 2018. V. 9. Article 4754; DOI: 10.1038/s41467-018-07139-4
     
  6. Rosakis A. J., Abdelmeguid M., Elbanna A. Evidence of early supershear transition in the Mw 7.8 Kahramanmaraş earthquake from near-field records // arXiv. 2023; DOI: 10.48550/arXiv.2302.07214
     
  7. Каракозова А. И., Кузнецов С. В., Мондрус В. Л. Землетрясение Кахраманмарас 06.02.2023: математические модели, оценки и методы сейсмической защиты // Изв. РАН. МТТ. 2024. № 2. C. 90–102; DOI: 10.31857/S1026351924020034
     
  8. Tarasov B. G. Hitherto unknown shear rupture mechanism as a source of instability in intact hard rocks at highly confined compression // Tectonophysics. 2014. V. 621. P. 69–84; DOI: 10.1016/j.tecto.2014.02.004
     
  9. Tarasov B. G., Randolph M. F. Improved concept of lithospheric strength and earthquake activity at shallow depths based upon the fan-head dynamic shear rupture mechanism // Tectonophysics. 2016. V. 667. P. 124–143; DOI: 10.1016/j.tecto.2015.11.016
     
  10. Tarasov B. G. New physics of supersonic ruptures // Deep Undergr. Sci. Eng. 2023. V. 2, N 3. P. 207–244; DOI: 10.1002/dug2.12050
     
  11. Тарасов Б. Г., Садовский В. М., Садовская О. В. Анализ веерных волн в лабораторной модели, имитирующей распространение сдвиговых трещин в горных породах // Вычисл. мех. сплош. сред. 2016. Т. 9, № 1. С. 38–51; DOI: 10.7242/1999-6691/2016.9.1.4
     
  12. Tarasov B. G., Sadovskii V. M., Sadovskaya O. V., Cassidy M. J., Randolph M. F. Modelling the static stress-strain state around the fan-structure in the shear rupture head // Appl. Math. Model. 2018. V. 57. P. 268–279; DOI: 10.1016/j.apm.2018.01.020
     
  13. Sadovskii V. M., Sadovskaya O. V. Supercomputing analysis of fan-shaped waves in the Earth’s crust at the depths of seismic activity // Mater. Phys. Mech. 2019. V. 42, N 3. P. 330–339; DOI: 10.18720/MPM.4232019_8 
     
  14. Sadovskii V. M., Sadovskaya O. V. Numerical algorithm based on implicit finite-difference schemes for analysis of dynamic processes in blocky media // Russ. J. Numer. Anal. Math. Model. 2018. V. 33, N 2. P. 111–121; DOI: 10.1515/rnam-2018-0010
     
  15. Садовский В. М., Садовская О. В. Моделирование веерного механизма образования разломов в земной коре // Программа и аннотации докладов конференции 053w: “Перспективы математического моделирования физических процессов в многомасштабных геологических средах”. 2024. С. 11–12.
     
  16. Nabarro F. R. N. Mathematical theory of stationary dislocations // Adv. Phys. 1952. V. 1, N 3. P. 269–394; DOI: 10.1080/00018735200101211
     
  17. Фридель Ж. Дислокации. М.: Мир, 1967.
     
  18. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твёрдого тела. М.: Наука, 1988.
     
  19. Shima H., Umeno Y., Sumigawa T. Analytic formulation of elastic field around edge dislocation adjacent to slanted free surface // R. Soc. Open Sci. 2022. V. 9. Article 220151; DOI: 10.1098/rsos.220151
     
  20. Markenscoff X. Loss of pseudo-momentum, energy-release rate and the effective mass of a moving dislocation // Phil. Trans. R. Soc. A. 2023. V. 381. Article 20230232; DOI: 10.1098/rsta.2023.0232

Работа выполнена в рамках государственного задания Института вычислительного моделирования СО РАН (проект FWES-2024-0025) и при финансовой поддержке Красноярского математического центра, финансируемого Минобрнауки РФ в рамках мероприятий по созданию и развитию региональных научно-образовательных математических центров (соглашение 075-02-2025-1606). Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

В. М. Садовский
  1. Институт вычислительного моделирования СО РАН, 
    Академгородок, 50/44, г. Красноярск 660036, Россия

E-mail: sadov@icm.krasn.ru

О. В. Садовская
  1. Институт вычислительного моделирования СО РАН, 
    Академгородок, 50/44, г. Красноярск 660036, Россия

E-mail: o_sadov@icm.krasn.ru

Статья поступила 16.12.2024 г.
После доработки — 28.02.2025 г.
Принята к публикации 26.03.2025 г.

Abstract:

As a model of shear rupture in the Earth’s crust at the depths of seismic activity, which grows with a velocity exceeding the velocity of longitudinal waves, we consider a Volterra edge dislocation moving in an infinite isotropic elastic medium under the action of preliminary tangential stresses. In the plane strain approximation, the equations of stationary motion of the medium around the dislocation are reduced to a hyperbolic system of equations for velocities and stresses, which is integrated by the method of characteristics. Using the invariant $J$–integral, an estimate of the energy released during the motion of dislocation is obtained, depending on the velocity, the value of tangential stress at infinity, the length of the fan adjacent to the vertex of dislocation, and on the nature of the distribution of the Burgers vector in the fan.

References:
  1. W. D. Ortlepp, Rock Fracture and Rockbursts: An Illustrative Study. Monograph Series M9 (South Afr. Inst. Min. Metall., Johannesburg, 1997).
     
  2. A. F. McGarr, D. Simpson, and L. Seeber, “Case histories of induced and triggered seismicity,” Int. Handb. Earthquake Eng. Seismol. 81 (40), 647–661 (2002). https://doi.org/10.1016/S0074-6142(02)80243-1
     
  3. K. Otsuki and T. Dilov, “Evolution of hierarchical self-similar geometry of experimental fault zones: Implications for seismic nucleation and earthquake size,” J. Geophys. Res. 110 (B3), B03303 (2005). https://doi.org/10.1029/2004JB003359
     
  4. A. J. Rosakis, O. Samudrala, and D. Coker, “Cracks faster than the shearwave speed,” Science 284 (5418), 1337–1340 (1999). https://doi.org/10.1126/science.284.5418.1337
     
  5. M. Gori, V. Rubino, A. J. Rosakis, and N. Lapusta, “Pressure shock fronts formed by ultra-fast shear cracks in viscoelastic materials,” Nature Commun. 9, 4754 (2018). https://doi.org/10.1038/s41467-018-07139-4
     
  6. A. J. Rosakis, M. Abdelmeguid, and A. Elbanna, “Evidence of early supershear transition in the Mw 7.8 Kahramanmara¸s earthquake from near-field records,” arXiv:2302.07214 (2023).
     
  7. A. I. Karakozova, S. V. Kuznetsov, and V. L. Mondrus, “Kahramanmara¸s earthquake on February 6, 2023: Mathematical models, estimates and methods of seismic protection,” Izv. RAN. MTT (2), 90–102 (2024) [in Russian]. https://doi.org/10.31857/S1026351924020034
     
  8. B. G. Tarasov, “Hitherto unknown shear rupture mechanism as a source of instability in intact hard rocks at highly confined compression,” Tectonophysics 621, 69–84 (2014). https://doi.org/10.1016/j.tecto.2014.02.004 
     
  9. B. G. Tarasov and M. F. Randolph, “Improved concept of lithospheric strength and earthquake activity at shallow depths based upon the fan-head dynamic shear rupture mechanism,” Tectonophysics 667, 124–143 (2016). https://doi.org/10.1016/j.tecto.2015.11.016
     
  10. B. G. Tarasov, “New physics of supersonic ruptures,” Deep Undergr. Sci. Eng. 2 (3), 207–244 (2023). https://doi.org/10.1002/dug2.12050
     
  11. B. G. Tarasov, V. M. Sadovskii, and O. V. Sadovskaya, “Analysis of fan waves in a laboratory model simulating the propagation of shear cracks in rocks,” Vychisl. Mekh. Sploshn. Sred 9 (1), 38–51 (2016) [in Russian]. https://doi.org/10.7242/1999-6691/2016.9.1.4
     
  12. B. G. Tarasov, V. M. Sadovskii, O. V. Sadovskaya, M. J. Cassidy, and M. F. Randolph, “Modelling the static stress-strain state around the fan-structure in the shear rupture head,” Appl. Math. Model. 57, 268–279 (2018). https://doi.org/10.1016/j.apm.2018.01.020
     
  13. V. M. Sadovskii and O. V. Sadovskaya, “Supercomputing analysis of fan-shaped waves in the Earth’s crust at the depths of seismic activity,” Mater. Phys. Mech. 42 (3), 330–339 (2019). https://doi.org/10.18720/MPM.4232019_8
     
  14. V. M. Sadovskii and O. V. Sadovskaya, “Numerical algorithm based on implicit finite-difference schemes for analysis of dynamic processes in blocky media,” Russ. J. Numer. Anal. Math. Model. 33 (2), 111–121 (2018). https://doi.org/10.1515/rnam-2018-0010
     
  15. V. M. Sadovskii and O. V. Sadovskaya, “Modeling of the fan mechanism of fault formation in the Earth’s crust,” Progr. Annot. Dokl. Konf. 053w “Perspektivy matematicheskogo modelirovaniya fizicheskikh protsessov v mnogomasshtabnykh geologicheskikh sredakh” (Progr. Abstr. Rep. Conf. 053w: Prospects for Mathematical Modeling of Physical Processes in Multiscale Geological Environments) (2024), pp. 11–12 [in Russian].
     
  16. F. R. N. Nabarro, “Mathematical theory of stationary dislocations,” Adv. Phys. 1 (3), 269–394 (1952). https://doi.org/10.1080/00018735200101211
     
  17. J. Friedel, Dislocations (Pergamon Press, Oxford, 1964; Mir, Moscow, 1967).
     
  18. Yu. N. Rabotnov, Mechanics of Deformable Solids (Nauka, Moscow, 1988) [in Russian].
     
  19. H. Shima, Y. Umeno, and T. Sumigawa, “Analytic formulation of elastic field around edge dislocation adjacent to slanted free surface,” R. Soc. Open Sci. 9, 220151 (2022). https://doi.org/10.1098/rsos.220151
     
  20. X. Markenscoff, “Loss of pseudo-momentum, energy-release rate and the effective mass of a moving dislocation,” Phil. Trans. R. Soc. A 381, 20230232 (2023). https://doi.org/10.1098/rsta.2023.0232