Двумерная задача определения ядра для уравнения вязкоупругости в вертикально-неоднородной среде

Двумерная задача определения ядра для уравнения вязкоупругости в вертикально-неоднородной среде

Тотиева Ж. Д.
Сибирский журнал индустриальной математики, 28, 1(101), 80-92 (2025)
Скачать статью

УДК 517.958 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2025.28.106

Аннотация:

Рассматривается двумерная обратная задача определения ядра, входящего в интегродифференциальное уравнение вязкоупругости. Предполагается, что коэффициенты уравнений зависят только от одной пространственной переменной. Применяя принцип линеаризации, обратная задача сводится к эквивалентной линейной системе интегральных уравнений. К последней в пространстве непрерывных функций применяется обобщённый принцип сжатых отображений. Доказана теорема однозначной разрешимости и получена оценка устойчивости решения обратной задачи.

Литература:
  1. Lorenzi A., Sinestrari E. An inverse problem in the theory of materials with memory I // Nonlinear Anal. 1988. V. 12. P. 1217–1335.
     
  2. Grasselli M., Kabanikhin S. I., Lorentsi A. An inverse problem for an integro-differential equation // Sib. Mat. J. 1992. V. 33, N 3. P. 58–68.
     
  3. Дурдиев Д. K. Обратная задача для трёхмерного волнового уравнения в среде с памятью // Математический анализ и дискретная математика. 1989. C. 19–27.
     
  4. Cavaterra C., Grasselli M. Idendifying memory kernels in linear thermoviscoelasticity of Boltzmann type // Math. Models Methods Appl. Sci. 1994. V. 4, N 6. P. 807–842.
     
  5. Bukhgeym A. L. Inverse problems of memory reconstruction // J. Inverse Ill-Posed Probl. 1993. V. 1, N 3. P. 193–206.
     
  6. Дурдиев Д. К. Многомерная обратная задача для уравнения с памятью // Сиб. матем. журн. 1994. Т. 35, № 3. С. 574–582.
     
  7. Bukhgeim A. L., Dyatlov G. V. Inverse problems for equations with memory // SIAM J. Math. Fool. 1998. V. 1, N 2. P. 1–17.
     
  8. Durdiev D. K., Totieva Z. D. Kernel Determination Problems in Hyperbolic Integro-Differential Equations. Singapore: Springer Nature Singapore Pte Ltd, 2023.
     
  9. Janno J., Von Wolfersdorf L. An inverse problem for identification of a time- and space-dependent memory kernel in viscoelasticity // Inverse Probl. 2001. V. 17. P. 13–24.
     
  10. Lorenzi A., Messina F., Romanov V. G. Recovering a Lamé kernel in a viscoelastic system // Appl. Anal. 2007. V. 86, N 11. P. 1375–1395.
     
  11. Romanov V. G., Yamamoto M. Recovering a Lamé kernel in a viscoelastic equation by a single boundary measurement // Appl. Anal. 2010. V. 89, N 3. P. 377–390.
     
  12. Lorenzi A., Romanov V. G. Recovering two Lamé Kernels in a Viscoelastic System // Inverse Probl. Imaging. 2011. V. 5, N 2. P. 431–464.
     
  13. Романов В. Г. Двумерная обратная задача для уравнения вязкоупругости // Сиб. матем. журн. 2012. T. 53, № 6. C. 1401–1412.
     
  14. Романов В. Г. Оценки устойчивости решения в задаче об определении ядра уравнения вязкоупругости // Сиб. журн. индустр. матем. 2012. Т. 15, № 1. C. 86–98.
     
  15. Romanov V. G. Inverse problems for differential equations with memory // Eurasian J. Math. Comput. Appl. 2014. V. 2, N 4. P. 51–80.
     
  16. Дурдиев Д. К., Тотиева Ж. Д. Задача об определении многомерного ядра уравнения вязкоупругости // Владикавк. матем. журн. 2015. Т. 17, № 4. С. 18–43.
     
  17. Totieva Z. D. A global solvability of a two-dimensional kernel determination problem for a viscoelasticity equation // Math. Methods Appl. Sci. 2022. V. 45, N 12. P. 7555–7575.
     
  18. Дурдиев Д. К., Бозоров З. Р. Задача определения ядра интегро-дифференциального волнового уравнения со слабо горизонтальной однородностью // Дальневоcт. матем. журн. 2013. T. 13, № 2. C. 209–221.
     
  19. Дурдиев Д. К., Сафаров Ж. Ш. Задача об определении двумерного ядра уравнения вязкоупругости со слабо горизонтальной неоднородностью // Сиб. журн. индустр. матем. 2022. T. 25, № 1. С. 14–38.
     
  20. Карчевский А. Л., Фатьянов А. Г. Численное решение обратной задачи для системы упругости с последействием для вертикально неоднородной среды // Сиб. журн. вычисл. матем. 2001. Т. 4, № 3. С. 259–269.
     
  21. Durdiev U. D. Numerical method for determining the dependence of the dielectric permittivity on the frequency in the equation of electrodynamics with memory // Sib. Elektron. Mat. Izv. 2020. V. 17. C. 179–189. 
     
  22. Bozorov Z. R. Numerical determining a memory function of a horizontally-stratified elastic medium with aftereffect // Eurasian J. Math. Comput. Appl. 2020. V. 8, N 2. C. 4–16.
     
  23. Kaltenbacher B., Khristenko U., Nikolic V., Rajendra L. M., Wohlmuth B. Determining Kernels In Linear Viscoelasticity // J. Comput. Phys. 2022. V. 464. Article 111331.
     
  24. Яхно В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений упругости. Новосибирск: Наука, 1988.

Работа выполнена в Северо-Кавказском центре математических исследований ВНЦ РАН при поддержке Минобрнауки России (соглашение 075-02-2025-1633). Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

Ж. Д. Тотиева
  1. Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН, 
    ул. Ватутина, 53, г. Владикавказ 362025, Россия
  2. Северо-Кавказский центр математических исследований Владикавказского научного центра РАН
    ул. Вильямса, 1, с. Михайловское 363110, Россия

E-mail: jannatuaeva@inbox.ru

Статья поступила 11.08.2023 г.
После доработки — 31.10.2024 г.
Принята к публикации 26.03.2025 г.

Abstract:

The two-dimensional inverse problem of determining the kernel of an elasticity equation of memory type is studied. It is assumed that the coefficients of the equations depend on only one spatial variable. Applying the linearization principle, the inverse problem is reduced to an equivalent linear system of integral equations. The generalized principle of compressed maps is applied to the latter in the space of continuous functions. The theorem of unique solvability is proved and an estimate of the stability of the solution to the inverse problem is obtained.

References:
  1. A. Lorenzi and E. Sinestrari, “An inverse problem in the theory of materials with memory I,” Nonlinear Anal. 12, 1217–1335 (1988).
     
  2. M. Grasselli, S. I. Kabanikhin, and A. Lorentsi, “An inverse problem for an integro-differential equation,” Sib. Math. J. 33 (3), 58–68 (1992).
     
  3. D. K. Durdiev, “Inverse problem for three-dimensional wave equation in a medium with memory,” in Mathematical Analysis and Discrete Mathematics (1989), pp. 19–27 [in Russian].
     
  4. C. Cavaterra and M. Grasselli, “Idendifying memory kernels in linear thermoviscoelasticity of Boltzmann type,” Math. Models Methods Appl. Sci. 4 (6), 807–842 (1994).
     
  5. A. L. Bukhgeym, “Inverse problems of memory reconstruction,” J. Inverse Ill-Posed Probl. 1 (3), 193–206 (1993). 
     
  6. D. K. Durdiev, “A multidimensional inverse problem for an equation with memory,” Sib. Math. J. 35 (3), 514–521 (1994).
     
  7. A. L. Bukhgeim and G. V. Dyatlov, “Inverse problems for equations with memory,” SIAM J. Math. Fool. 1 (2), 1–17 (1998).
     
  8. D. K. Durdiev and Z. D. Totieva, Kernel Determination Problems in Hyperbolic Integro-Differential Equations (Springer Nature, Singapore, 2023).
     
  9. J. Janno and L. Von Wolfersdorf, “An inverse problem for identification of a time- and space-dependent memory kernel in viscoelasticity,” Inverse Probl. 17, 13–24 (2001).
     
  10. A. Lorenzi, F. Messina, and V. G. Romanov, “Recovering a Lamé kernel in a viscoelastic system,” Appl. Anal. 86 (11), 1375–1395 (2007).
     
  11. V. G. Romanov and M. Yamamoto, “Recovering a Lamé kernel in a viscoelastic equation by a single boundary measurement,” Appl. Anal. 89 (3), 377–390 (2010).
     
  12. A. Lorenzi and V. G. Romanov, “Recovering two Lamé kernels in a viscoelastic system,” Inverse Probl. Imaging 5 (2), 431–464 (2011).
     
  13. V. G. Romanov, “A two-dimensional inverse problem for the viscoelasticity equation,” Sib. Math. J. 53 (6), 1128–1138 (2012).
     
  14. V. G. Romanov, “Stability estimates for the solution to the problem of determining the kernel of a viscoelastic equation,” J. Appl. Ind. Math. 6 (3), 360–370 (2012).
     
  15. V. G. Romanov, “Inverse problems for differential equations with memory,” Eurasian J. Math. Comput. Appl. 2 (4), 51–80 (2014).
     
  16. D. K. Durdiev and Zh. D. Totieva, “The problem of determining the multidimensional kernel of a viscoelasticity equation,” Vladikavkaz. Mat. Zh. 17 (4), 18–43 (2015) [in Russian].
     
  17. Z. D. Totieva, “A global solvability of a two-dimensional kernel determination problem for a viscoelasticity equation,” Math. Methods Appl. Sci. 45 (12), 7555–7575 (2022).
     
  18. D. K. Durdiev and Z. R. Bozorov, “The problem of determining the kernel of the integro-differential wave equation with weakly horizontal homogeneity,” Dal’nevostochn. Mat. Zh. 13 (2), 209–221 (2013) [in Russian]. 
     
  19. D. K. Durdiev and J. Sh. Safarov, “Problem of determining the two-dimensional kernel of the viscoelasticity equation with a weakly horizontal inhomogeneity,” J. Appl. Ind. Math. 16 (1), 22–44 (2022).
     
  20. A. L. Karchevskii and A. G. Fat’yanov, “Numerical solution of the inverse problem for the elasticity system with aftereffect for a vertically inhomogeneous medium,” Sib. Zh. Vychisl. Mat. 4 (3), 259–269 (2001) [in Russian]. 
     
  21. U. D. Durdiev, “Numerical method for determining the dependence of the dielectric permittivity on the frequency in the equation of electrodynamics with memory,” Sib. Elektron. Mat. Izv. 17, 179–189 (2020).
     
  22. Z. R. Bozorov, “Numerical determining a memory function of a horizontally-stratified elastic medium with aftereffect,” Eurasian J. Math. Comput. Appl. 8 (2), 4–16 (2020).
     
  23. B. Kaltenbacher, U. Khristenko, V. Nikolic, L. M. Rajendra, and B.Wohlmuth, “Determining kernels in linear viscoelasticity,” J. Comput. Phys. 464, 111331 (2022).
     
  24. V. G. Yakhno, Inverse Problems for Differential Equations of Elasticity (Nauka, Novosibirsk, 1988) [in Russian].