О приближённом решении нелинейной задачи оптимального быстродействия

О приближённом решении нелинейной задачи оптимального быстродействия

Антипина Е. В., Мустафина С. А., Антипин А. Ф.
Сибирский журнал индустриальной математики, 28, 3(103), 20-35 (2025)
Скачать статью

УДК 519.6:004.4 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2025.28.302

Аннотация:

Предложен подход к поиску приближенного решения нелинейной задачи оптимального быстродействия на основе генетических алгоритмов. Применение генетических алгоритмов подразумевает конечномерную аппроксимацию исходной задачи и поиск управляющих параметров в классе кусочно-постоянных функций. Преимуществами предложенного подхода являются отсутствие необходимости применения дополнительных методов и преобразований задачи, возможность применения для решения многоэкстремальных задач, а также отсутствие требований к виду уравнений модели процесса. Для решения конечномерной задачи приведен модифицированный генетический алгоритм с вещественным кодированием. Работа алгоритма апробирована на примерах нелинейных задач оптимального быстродействия. Проведено сравнение полученных результатов решения задач с результатами применения других методов.

Литература:
  1. Тятюшкин А. И. Численные методы расчёта оптимального по быстродействию управления // Изв. Иркутск. гос. ун-та. Сер. Математика. 2003. Т. 8. С. 164–177.
     
  2. Шевченко Г. В. Численный алгоритм решения линейной задачи оптимального быстродействия // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1991. Т. 31, № 12. С. 1763–1771.
     
  3. Флоринский В. В. Решение линейной задачи быстродействия с двумерным управлением // Научн. ведомости Белгород. гос. ун-та. Сер. Математика. Физика. 2015. № 5, Вып. 38. С. 89–95.
     
  4. Новиков Д. А. О простейшей задаче быстродействия с фазовым ограничением при управлении пространственной ориентацией тела // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 3. С. 62–72; DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-3-62-72
     
  5. Павлюковец С. А., Вельченко А. А., Радкевич А. А. Математическая модель системы управления мобильным гусеничным роботом с учётом кинематических и динамических параметров // Системный анализ и прикладная информатика. 2023. № 3. С. 33–38; DOI: 10.21122/2309-4923-2023-3-33-38
     
  6. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.
     
  7. Карамзин Д. Ю. Принцип максимума Понтрягина для задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями при ослабленных предположениях управляемости // Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. 2018. № 20. С. 46–61.
     
  8. Шевченко Г. В. Метод численного решения нелинейной задачи оптимального быстродействия с аддитивным управлением // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 2007. Т. 47, № 11. С. 1843–1854. 
     
  9. Александров В. М. Итерационный метод вычисления оптимального по быстродействию управления квазилинейными системами // Сиб. журн. вычисл. математики. 2003. Т. 6, № 3. С. 227–247.
     
  10. Topunov M. V. A Nonlinear Time Optimal Control Problem // Automation and Remote Control. 2002. V. 63, N 7. P. 1062–1069.
     
  11. Срочко В. А. Модернизация методов градиентного типа в задачах оптимального управления // Изв. вузов. Математика. 2002. № 12. С. 66–78.
     
  12. Katoch S., Chauhan S. S., Kumar V. A Review on Genetic Algorithm: Past, Present, and Future // Multimedia Tools and Applications. 2021. V. 80. P. 8091–8126; DOI: 10.1007/s11042-020-10139-6
     
  13. Трокоз Д. А. Метод параметрической оптимизации для широких нейронных сетей с использованием генетических алгоритмов // Изв. Самарского научного центра РАН. 2021. Т. 23, № 2. С. 51–56; DOI: 10.37313/1990-5378-2021-23-2-51-56
     
  14. Kozuch D. J., Stillinger F. H., Debenedetti P. G. Genetic Algorithm Approach for the Optimization of Protein Antifreeze Activity Using Molecular Simulations // J. Chemical Theory Comput. 2020. V. 16, N 12. P. 7866–7873; DOI: 10.1021/acs.jctc.0c00773
     
  15. Jalali Z., Noorzai E., Heidari S. Design and optimization of form and facade of an office building using the genetic algorithm // Sci. Technol. Built Environment. 2020. V. 26, N 2. P. 128–140; DOI: 10.1080/23744731.2019.1624095
     
  16. Migov D. A., Volzhankina K. A., Rodionov A. S. Genetic Algorithms for Drain Placement in Wireless Sensor Networks Optimal by the Relibility Criterion // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. 2021. V. 57, N 3. P. 240–249; DOI: 10.3103/S8756699021030110
     
  17. Пантелеев А. В., Метлицкая Д. В. Применение генетических алгоритмов с бинарным и вещественным кодированием для приближённого синтеза субоптимального управления детерминированными системами // Автоматика и телемеханика. 2011. № 11. С. 117–129.
     
  18. Дивеев А. И. Решение задачи оптимального управления эволюционным алгоритмом на основе принципа максимума Понтрягина // Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. 2018. № 20. С. 3–17.
     
  19. Антипина Е. В., Мустафина С. А., Антипин А. Ф. Алгоритм поиска приближённого решения задачи оптимального управления химическим процессом при наличии терминальных ограничений // Вестн. Томск. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2022. № 59. С. 4–12; DOI: 10.17223/19988605/59/1
     
  20. Горнов А. Ю. Вычислительные технологии решения задач оптимального управления. Новосибирск: Наука, 2009.
     
  21. Антипина Е. В., Мустафина С. А., Антипин А. Ф. Программное обеспечение для автоматизации процесса поиска кинетических параметров химических реакций // Программные продукты и системы. 2020. № 1. С. 125–131.
     
  22. Булдаев А. С. Методы неподвижных точек в задачах оптимизации управляемых систем // Итоги науки и техники, серия Современная математика и её приложения. Тематические обзоры. 2020. Т. 183. С. 22–34; DOI: 10.36535/0233-6723-2020-183-22-34

Исследование выполнено в рамках государственного задания Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (проект FZWU-2023-0002). Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

Е. В. Антипина
  1. Уфимский университет науки и технологий, 
    ул. Заки Валиди, 32, г. Уфа 450076, Россия

E-mail: stepashinaev@ya.ru

С. А. Мустафина
  1. Уфимский университет науки и технологий, 
    ул. Заки Валиди, 32, г. Уфа 450076, Россия

E-mail: mustafinasa@mail.ru

А. Ф. Антипин
  1. Уфимский университет науки и технологий, 
    ул. Заки Валиди, 32, г. Уфа 450076, Россия

E-mail: andrejantipin@ya.ru

Статья поступила 29.09.2024 г.
После доработки — 07.11.2025 г.
Принята к публикации 07.11.2025 г.

Abstract:

The article proposes an approach to finding an approximate solution to a nonlinear problem of optimal performance based on genetic algorithms. The use of genetic algorithms implies a finite-dimensional approximation of the original problem and the search for control parameters in the class of piecewise constant functions. The advantages of the proposed approach are the lack of need to use additional methods and transformations of the problem, the possibility of using it to solve multi-extremal problems, the absence of requirements for the type of process model equations, and the independence of the solution from the initial approximation. A modified genetic algorithm with real coding is given for solving a finitedimensional problem. The algorithm is tested on examples of nonlinear problems of optimal performance. The obtained results of solving the problems are compared with the results of using other methods. The independence of the calculated solution from the choice of the initial approximation is shown.

References:
  1. Tyatyushkin A. I. Chislennye metody rascheta optimal’nogo po bystrodeistviyu upravleniya [Numerical methods for calculating speed-optimal control]. Izv. Irkutsk. gos. un-ta. Ser. Matematika [Izv. Irkutsk State University. Ser. Mathematics.], 2003, Vol. 8, pp. 164–177 (in Russian).
     
  2. Shevchenko G. V. Chislennyi algoritm resheniya lineinoi zadachi optimal’nogo bystrodeistviya [Numerical algorithm for solving a linear problem of optimal performance]. Zhurn. vychisl. matematiki i matem. fiziki [J. Calculation. Mathematics Math. Physics.], 1991, Vol. 31, No. 12, pp. 1763—1771 (in Russian).
     
  3. Florinskii V.V. Reshenie lineinoi zadachi bystrodeistviya s dvumernym upravleniem [Solution of a linear time-optimal problem with two-dimensional control]. Nauchn. vedomosti Belgorod. gos. un-ta. Ser. Matematika. Fizika [Sci. Vedomosti Belgorod State University. Ser. Mathematics. Physics], 2015, No. 5, pp. 89—95 (in Russian).
     
  4. Novikov D. A. O prosteishei zadache bystrodeistviya s fazovym ogranicheniem pri upravlenii prostranstvennoi orientatsiei tela [On the simplest time-optimal problem with phase constraints in the control of the spatial orientation of a body]. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN [Proceed. Institute of Mathematics and Mechanics, UB RAS], 2023, Vol. 29, No. 3, pp. 62—72 (in Russian); DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-3-62-72 
     
  5. Pauliukavets S. A., Velchenko A. A., Radkevich A. A. Matematicheskaya model’ sistemy upravleniya mobil’nym gusenichnym robotom s uchetom kinematicheskikh i dinamicheskikh parametrov [Mathematical model of the control system of mobile caterpillar robot taking into account kinematic and dynamic parameters]. Sistemnyi analiz i prikladnaya informatika [Systems Anal. Appl. Comput. Sci.], 2023, No. 3, pp. 33—38 (in Russian); DOI: 10.21122/2309-4923-2023-3-33-38
     
  6. Pontryagin L. S., Boltyanskii V. G., Gamkrelidze R. V., Mishchenko E. F. Matematicheskaya teoriya optimal’nykh protsessov [Mathematical theory of optimal processes]. Moscow: Nauka, 1983 (in Russian).
     
  7. Karamzin D. Yu. Printsip maksimuma Pontryagina dlya zadachi optimal’nogo upravleniya s fazovymi ogranicheniyami pri oslablennykh predpolozheniyakh upravlyaemosti [A Pontryagin maximum principle for state constrained optimal control problem under weakened controllability hypothesis]. Voprosy teorii bezopasnosti i ustoichivosti sistem [Issues of Security Theory and Stability of Systems], 2018, No. 20, pp. 46—61 (in Russian).
     
  8. Shevchenko G. V. Metod chislennogo resheniya nelineinoi zadachi optimal’nogo bystrodeistviya s additivnym upravleniem [Numerical method for solving a nonlinear time-optimal control problem with additive control]. Zhurn. vychisl. matematiki i matem. fiziki [J. Calculation. Mathematics Math. Physics], 2007, Vol. 47, No. 11, pp. 1843–1854 (in Russian).
     
  9. Aleksandrov V. M. Iteratsionnyi metod vychisleniya optimal’nogo po bystrodeistviyu upravleniya kvazilineinymi sistemami [An iterative method for computation of time-optimal control of quasilinear systems]. Sib. zhurn. vychisl. matematiki [Sib. J. Calculation. Mathematics], 2003, Vol. 6, No. 3, pp. 227— 247 (in Russian).
     
  10. Topunov M. V. A Nonlinear Time Optimal Control Problem. Automation and Remote Control, 2002, Vol. 63, No. 7, pp. 1062—1069.
     
  11. Srochko V. A. Modernizatsiya metodov gradientnogo tipa v zadachakh optimal’nogo upravleniya [Modernization of gradient-type methods in optimal control problems]. Izv. vuzov. Matematika [Izv. Universities. Mathematics], 2002, No. 12, pp. 66—78 (in Russian).
     
  12. Katoch S., Chauhan S. S., Kumar V. A Review on Genetic Algorithm: Past, Present, and Future. Multimedia Tools and Applications, 2021, Vol. 80, pp. 8091—8126; DOI: 10.1007/s11042-020-10139-6
     
  13. Trokoz D. A. Metod parametricheskoi optimizatsii dlya shirokikh neironnykh setei s ispol’zovaniem geneticheskikh algoritmov [Parametric optimization method for wide neural networks using genetic algorithms]. Izv. Samar. nauchn. tsentra RAN [Izv. Samara Sci. Center RAS], 2021, Vol. 23, No. 2, pp. 51–56 (in Russian); DOI: 10.37313/1990-5378-2021-23-2-51-56
     
  14. Kozuch D. J., Stillinger F. H., Debenedetti P. G. Genetic Algorithm Approach for the Optimization of Protein Antifreeze Activity Using Molecular Simulations. J. Chemical Theory Comput, 2020, Vol. 16, No. 12, pp. 7866—7873; DOI: 10.1021/acs.jctc.0c00773
     
  15. Jalali Z., Noorzai E., Heidari S. Design and optimization of form and facade of an office building using the genetic algorithm. Sci. Technol. Built Environment, 2020, Vol. 26, No. 2, pp. 128—140; DOI: 10.1080/23744731.2019.1624095
     
  16. Migov D. A., Volzhankina K. A., Rodionov A. S. Genetic Algorithms for Drain Placement in Wireless Sensor Networks Optimal by the Relibility Criterion. Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing, 2021, Vol. 57, No. 3, pp. 240—249; DOI: 10.3103/S8756699021030110
     
  17. Panteleev A. V., Metlitskaya D. V. Primenenie geneticheskikh algoritmov s binarnym i veshchestvennym kodirovaniem dlya priblizhennogo sinteza suboptimal’nogo upravleniya determinirovannymi sistemami [An application of genetic algorithms with binary and real coding for approximate synthesis of suboptimal control in deterministic systems]. Avtomatika i telemekhanika [Automation and Telemechanics], 2011, No. 11, pp. 117–129 (in Russian).
     
  18. Diveev A. I. Reshenie zadachi optimal’nogo upravleniya ehvolyutsionnym algoritmom na osnove printsipa maksimuma Pontryagina [A solution of the optimal control problem by an evolutionary algorithm on the basis of the Pontryagin maximum principle]. Voprosy teorii bezopasnosti i ustoichivosti sistem [Issues of Security Theory and Stability of Systems], 2018, No. 20, pp. 3—17 (in Russian).
     
  19. Antipina E. V., Mustafina S. A., Antipin A. F. Algoritm poiska priblizhennogo resheniya zadachi optimal’nogo upravleniya khimicheskim protsessom pri nalichii terminal’nykh ogranichenii [Algorithm for finding an approximate solution of the problem of optimal control of a chemical process in the presence of terminal restrictions]. Vestn. Tomsk. gos. un-ta. Upravlenie, vychislitel’naya tekhnika i informatika [Vestn. Tomsk State University. Management, Comput. Engrg. Comput. Sci.], 2022, No. 59, pp. 4—12 (in Russian); DOI: 10.17223/19988605/59/1 20.
     
  20. Gornov A. Yu. Vychislitel’nye tekhnologii resheniya zadach optimal’nogo upravleniya [Computational technologies for solving optimal control problems]. Novosibirsk: Nauka, 2009 (in Russian).
     
  21. Antipina E. V., Mustafina S. A., Antipin A. F. Programmnoe obespechenie dlya avtomatizatsii protsessa poiska kineticheskikh parametrov khimicheskikh reaktsii [Software for automation of the search process for kinetic parameters of chemical reactions]. Programmnye produkty i sistemy [Software Products and Systems], 2020, No. 1, pp. 125—131 (in Russian).
     
  22. Buldaev A. S. Metody nepodvizhnykh tochek v zadachakh optimizatsii upravlyaemykh sistem [Fixedpoint methods in optimization problems for control systems]. Itogi nauki i tekhniki. Sovremennaya matematika i ee prilozheniya. Tematicheskie obzory [Results Sci. Technology. Ser. Modern Math. Appl. Thematic Rev.], 2020, Vol. 183, pp. 22—34 (in Russian); DOI: 10.36535/0233-6723-2020-183-22-34