Разрушение решения уравнения колебаний стержня с учётом движущейся нагрузки

Разрушение решения уравнения колебаний стержня с учётом движущейся нагрузки

Умаров Х. Г.
Сибирский журнал индустриальной математики, 29, 1(105), 111-126 (2026)
Скачать статью

УДК 517.955:517.958 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2026.29.108

Аннотация:

Для нелинейного дифференциального уравнения в частных производных соболевского типа (уравнения не разрешённые относительно старшей временной производной), обобщающего уравнение колебаний стержня с учётом движущейся нагрузки, исследуется задача Коши в пространстве непрерывных функций, заданных на всей числовой оси, и для которых существуют пределы на бесконечности. Найдено в явном виде классическое решение соответствующего линейного однородного уравнения и получены оценки норм операторнозначных функций, представляющих это решение. Получена оценка нормы решения задачи Коши для линейного однородного уравнения. Установлен временной отрезок существования и единственности классического решения вспомогательной задачи Коши, связанной с исходной и приведена оценка нормы этого локального решения. Найдены условия, обеспечивающие связь между классическими решениями исходной и вспомогательной задач Коши на определённом временном отрезке. Рассмотрены условия разрушения классического решения задачи Коши на конечном временном отрезке.

Литература:
  1. Светлицкий В. А. Строительная механика машин. Механика стержней. Т. 2. Динамика. М.: Физматлит, 2009.
     
  2. Демиденко Г. В., Успенский С. В. Уравнения и системы, не разрешённые относительно старшей производной. Новосибирск: Науч. книга, 1998.
     
  3. Свешников А. Г., Альшин А. Б., Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. М.: Физматлит, 2007.
     
  4. Демиденко Г. В. Условия разрешимости задачи Коши для псевдогиперболических уравнений // Сиб. матем. журн. 2015. Т. 56, № 6. С. 1289–1303.
     
  5. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.
     
  6. Dannan F. M. Integral inequalities of Gronwall-Bellman-Bihari type and asymptotic behavior of certain second order nonlinear differential equations // J. Math. Anal. Appl. 1985. V. 108, N 1. P. 151–164.
     
  7. Васильев В. В., Крейн С. Г., Пискарев С. И. Полугруппы операторов, косинус оператор-функции и линейные дифференциальные уравнения // Итоги науки и техники. Серия Матем. анализ. Т. 28. М.: ВИНИТИ, 1990.
     
  8. Красносельский М. А., Забрейко П. П.,Пустыльник Е. И.,Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций М.: Наука, 1966.
     
  9. Travis C. C., Webb G. F. Cosine families and abstract nonlinear second order differential equations // Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae. 1978. V. 32. P. 75–96.
     
  10. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т. 1. М.: Дрофа, 2006.
     
  11. Корпусов М. О., Свешников А. Г., Юшков Е. В. Методы теории разрушения решений нелинейных уравнений математической физики. М.: Изд-во МГУ, 2014.

Данная работа финансировалась за счёт средств бюджета Академии наук Чеченской Республики и Чеченского государственного педагогического университета. Никаких дополнительных грантов на проведение или руководство данным конкретным исследованием получено не было.

Х. Г. Умаров
  1. Академия наук Чеченской Республики, 
    ул. В. Алиева, 19 а, г. Грозный 364043, Россия
  2. Чеченский государственный педагогический университет, 
    ул. С. Кишиевой, 33, г. Грозный 364068, Россия

E-mail: umarov50@mail.ru 

Статья поступила 25.09.2025 г.
После доработки — 09.04.2026 г.
Принята к публикации 13.05.2026 г.

Abstract:

For a nonlinear partial differential equation of Sobolev type (equations not solved with respect to the highest time derivative) generalizing the equation of rod oscillations taking into account a moving load, we study the Cauchy problem in the space of continuous functions defined on the entire number axis and for which limits at infinity exist. An explicit classical solution of the corresponding linear homogeneous equation is found and estimates of the norms of the operator-valued functions representing this solution are obtained. An estimate of the norm of a solution to the Cauchy problem for a linear equation is obtained. The time interval of existence and uniqueness of the classical solution to the auxiliary Cauchy problem related to the original one is established and an estimate of the norm of this local solution is given. Conditions are found that ensure a connection between the classical solutions of the original and auxiliary Cauchy problems on a certain time interval. Conditions for the blow up of the classical solution to the Cauchy problem on a finite time interval are considered.

References:
  1. Svetlickij V. A. Stroitel’naya mehanika mashin. Mehanika sterzhnej. V. 2. Dinamika [Structural mechanics of machines. Mechanics of rods. Vol. 2. Dynamics]. Moscow: FIZMATLIT, 2009 (in Russian).
     
  2. Demidenko G. V., Uspenskij S. V. Uravneniya i sistemy, ne razreshyonnye otnositel’no starshej proizvodnoj [Equations and systems not resolved with respect to the highest derivative]. Novosibirsk: Nauch. kniga, 1998 (in Russian).
     
  3. Sveshnikov A. G., Al’shin A. B., Korpusov M. O., Pletner Yu. D. Linejnye i nelinejnye uravneniya sobolevskogo tipa [Linear and nonlinear equations of Sobolev type]. Moscow: Fizmatlit, 2007 (in Russian).
     
  4. Demidenko G. V. Usloviya razreshimosti zadachi Koshi dlya psevdogiperbolicheskih uravnenij [Solvability conditions for the Cauchy problem for pseudohyperbolic equations]. Sib. Matem. Zhurn. [Sib. Math. J.], 2015, Vol. 56, No. 6, pp. 1289–1303 (in Russian).
     
  5. Dunford N., Schwartz J. T. Linear Operators. Part I: General Theory. N. Y.: Interscience, 1958.
     
  6. Dannan F. M. Integral inequalities of Gronwall–Bellman–Bihari type and asymptotic behavior of certain second order nonlinear differential equations. J. Math. Anal. Appl., 1985, Vol. 108, No. 1, pp. 151–164.
     
  7. Vasil’ev V. V., Krejn S. G., Piskarev S. I. Polugruppy operatorov, kosinus operator-funkcii i linejnye differencial’nye uravneniya [Operator Semigroups, Cosine Operator Functions, and Linear Differential Equations]. Itogi Nauki i Tehniki. Seriya Matem. Analiz. VINITI [Results of Science and Technology. Series Mat. Analysis. VINITI], 1990, Vol. 28 (in Russian).
     
  8. Krasnosel’skij M. A., Zabrejko P. P.,Pustyl’nik E. I., Sobolevskij P. E. Integral’nye operatory v prostranstvah summiruemyh funkcij [Integral Operators in Spaces of Summable Functions]. Moscow: Nauka, 1966 (in Russian).
     
  9. Travis C. C., Webb G. F. Cosine families and abstract nonlinear second order differential equations. Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae, 1978, Vol. 32, pp. 75–96.
     
  10. Kudryavcev L. D. Kurs matematicheskogo analiza. V. 1. [The course of mathematical analysis.]. Moscow: Drofa, 2006 (in Russian).
     
  11. Korpusov M. O., Sveshnikov A. G., Yushkov E. V. Metody teorii razrusheniya reshenij nelinejnyh uravnenij matematicheskoj fiziki [Methods of blow-up theory of solutions of nonlinear equations of mathematical physics]. Moscow: MGU Press, 2014 (in Russian).