Общие решения и приведение системы уравнений моментной линейной теории упругости изотропного псевдоконтинуума Коссера к диагональному виду

Общие решения и приведение системы уравнений моментной линейной теории упругости изотропного псевдоконтинуума Коссера к диагональному виду

Остросаблин Н. И.
Сибирский журнал индустриальной математики, 29, 2(106), 65-79 (2026)
Скачать статью

УДК 539.3:517.958 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2026.29.205

Аннотация:

Трёхмерная система дифференциальных уравнений четвёртого порядка моментной линейной теории упругости в смещениях изотропного псевдоконтинуума Коссера представлена в виде объединения автоморфной системы третьего порядка и разрешающей системы первого порядка. Решение разрешающей системы выражено через четыре гармонические функции. Для системы в смещениях найдено два варианта представления общего решения через три функции, удовлетворяющих трём независимым уравнениям, т. е. система диагонализируется. Приведены формулы производства новых решений (операторы симметрии), позволяющие путём дифференцирования из какого-либо заданного решения находить новые решения исходных уравнений. С использованием представления решения разрешающей системы через гармонические функции получается представление смещений в статике через гармонические функции и для классической изотропной упругой среды.

Литература:
  1. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.
     
  2. Купрадзе В. Д., Гегелия Т. Г., Башелейшвили М. О., Бурчуладзе Т. В. Трёхмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976.
     
  3. Аннин Б. Д., Остросаблин Н. И., Угрюмов Р. И. Определяющие уравнения анизотропной моментной линейной теории упругости и двумерная задача о чистом сдвиге со стеснённым вращением // Сиб. журн. индустр. математики. 2023. Т. 26, № 1. С. 5–19.
     
  4. Аэро Э. Л., Кувшинский Е. В. Континуальная теория ассиметрической упругости. Равновесие изотропного тела // Физика твёрд. тела. 1964. Т. 6, вып. 9. С. 2689–2699.
     
  5. Чиркунов Ю. А. Групповой анализ линейных и квазилинейных уравнений дифференциальных уравнений. Новосибирск: изд. НГУЭУ, 2007.
     
  6. Аннин Б. Д., Григорьев Ю. М., Наумов В. В. Решение пространственных статических задач теории упругости методами теории кватернионных функций // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Материалы 9 Всесоюз. конф., Саратов, 26–30 июня 1985, Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1986. С. 35–42.
     
  7. Сенашов С. И., Савостьянова И. Л. Использование законов сохранения для решения краевых задач системы Моисила — Теодореску // Сиб. журн. индустр. математики, 2022. Т. 25, № 2. С. 101–109.
     
  8. Шмаков А. П. Представление общего решения в теории упругости // Упругость и неупругость. М.: Изд-во Москов. ун-та, 1975. Вып. 4. С. 5–12.
     
  9. Остросаблин Н. И. Общие решения и приведение системы уравнений линейной теории к диагональному виду // Прикл. механика и техн. физика. 1993. Т. 34, № 5. С. 112–122.
     
  10. Остросаблин Н. И. Об уравнениях линейной теории упругости анизотропных материалов, сводящихся к трём независимым волновым уравнениям // Прикл. механика и техн. физика. 1994. Т. 35, № 6. С. 143–150.
     
  11. Борок В. М. О системах линейных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами // Изв. вузов. Математика. 1957. № 1. С. 45–65.
     
  12. Остросаблин Н. И. Общее решение и приведение системы уравнений линейной изотропной упругости к диагональному виду // Сиб. журн. индустр. математики. 2009. Т. 12, № 2. С. 79–83.
     
  13. Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001.
     
  14. Остросаблин Н. И. Функции кинетических напряжений в механике сплошных сред // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Ин-т гидродинамики СО РАН. 2007. Вып. 125. С. 76–116.
     
  15. Остросаблин Н. И., Угрюмов Р. И. Общее решение системы уравнений моментной линейной теории упругости изотропного псевдоконтинуума Коссера // Докл. РАН. Физика, техн. науки. 2024. Т. 517, № 1. С. 36–40.
     
  16. Россихин Ю. А., Шитикова М. В. Анализ нестационарных волн в оболочках из псевдоконтинуума Коссера // Учёные записки Комсомольского-на-Амуре гос. техн. ун-та. 2018. № III-1(35). С. 80–85.
     
  17. Антонов А. М., Ерофеев В. И. Распространение волны Рэлея вдоль границы полупространства, описываемого упрощённой моделью Коссера // Проблемы прочности и пластичности. 2019. Т. 81, № 3. С. 333–344.
     
  18. Павлов И. С., Муравьёва А. В. Трёхмерная градиентная модель полубесконечной геосреды // Проблемы прочности и пластичности. 2022. Т. 84, № 4. С. 480–492.

Работа выполнена при финансовой поддержке Программы фундаментальных исследований СО РАН (проект FWGG-2026-0018). Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

Н. И. Остросаблин
  1. Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 
    просп. Акад. Лаврентьева, 15, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: o.n.ii@yandex.ru 

Статья поступила 05.06.2024 г.
После доработки — 12.09.2025 г.
Принята к публикации 15.06.2026 г.

Abstract:

The three-dimensional system of fourth-order differential equations of the moment linear theory of elasticity in displacements of the isotropic pseudo-continuum of Cosserat is presented as a combination of an automorphic system of the third order and a resolving system of the first order. The solution of the resolving system is expressed in terms of four harmonic functions. Two variants of the representation of the general solution in terms of three functions satisfying three independent equations are found for the displacement system, i. e. the system is diagonalized. Formulas for the production of new solutions (symmetry operators) are given, allowing, by differentiating from any given solution, to find new solutions to the original equations. Using the representation of the solution of the resolving system through harmonic functions, a representation of displacements in statics through harmonic functions and for a classical isotropic elastic medium is obtained.

References:
  1. Nowacki W. Theory of elasticity. Warszawa: PWN, 1970.
     
  2. Kupradze V. D., Gegeliya T. G., Bashelejshvili M. O., Burchuladze T. V. Tryohmernye zadachi matematicheskoj teorii uprugosti i termouprugosti [Three-dimensional problems of the mathematical theory of elasticity and thermoelasticity]. Moscow: Nauka, 1976 (in Russian).
     
  3. Annin B. D., Ostrosablin N. I., Ugryumov R. I. Opredelyayushchie uravneniya anizotropnoj momentnoj linejnoj teorii uprugosti i dvumernaya zadacha o chistom sdvige so stesnyonnym vrashcheniem [Defining equations of the anisotropic moment linear theory of elasticity and the two-dimensional problem of a pure shear with constrained rotation]. Sib. Zhurn. Indust. Mat., 2023, Vol. 26, No. 1, pp. 5–19 (in Russian).
     
  4. Aehro Eh. L., Kuvshinskij E. V. Kontinual’naya teoriya assimetricheskoj uprugosti. Ravnovesie izotropnogo tela [The continuum theory of asymmetric elasticity. Isotropic body equilibrium]. Fizika Tvyord. Tela [Solid state physics.], 1964, Vol. 6, Iss. 9, pp. 2689–2699 (in Russian).
     
  5. Chirkunov Yu. A. Gruppovoj analiz linejnyh i kvazilinejnyh uravnenij differencial’nyh uravnenij [Group analysis of linear and quasi-linear equations of differential equations]. Novosibirsk: NGUEHU Publ., 2007 (in Russian).
     
  6. Annin B. D., Grigor’ev Yu. M., Naumov V. V. Reshenie prostranstvennyh staticheskih zadach teorii uprugosti metodami teorii kvaternionnyh funkcij [Solving spatial static problems of the theory of elasticity by methods of the theory of quaternionic functions]. Chislennye metody resheniya zadach teorii uprugosti i plastichnosti: Materialy 9 Vsesoyuz. konf. [Numerical methods for solving problems of the theory of elasticity and plasticity: Materials of the 9th All-Union. Conf.], Saratov, 26–30 June, 1985 Novosibirsk: ITPM SO AN SSSR, 1986, pp. 35–42(in Russian).
     
  7. Senashov S. I., Savost’yanova I. L. Ispol’zovanie zakonov sohraneniya dlya resheniya kraevyh zadach sistemy Moisila — Teodoresku [Using conservation laws to solve boundary value problems of the Moisil system — Teodorescu]. Sib. Zhurn. Indust. Mat., 2022. Vol. 25, No. 2, pp. 101–109 (in Russian).
     
  8. Shmakov A. P. Predstavlenie obshchego resheniya v teorii uprugosti [Representation of a general solution in the theory of elasticity]. Uprugost’ i neuprugost’ [Elasticity and inelasticity]. Moscow: MSU Publ., 1975, Vyp. 4, pp. 5–12 (in Russian).
     
  9. Ostrosablin N. I. Obshchie resheniya i privedenie sistemy uravnenij linejnoj teorii k diagonal’nomu vidu [General solutions and reduction of the system of equations of linear theory to a diagonal form]. Prikl. Mekh. Tekhn. Fiz., 1993, Vol. 34, No. 5, pp. 112–122 (in Russian).
     
  10. Ostrosablin N. I. Ob uravneniyah linejnoj teorii uprugosti anizotropnyh materialov, svodyashchihsya k tryom nezavisimym volnovym uravneniyam [On the equations of the linear theory of elasticity of anisotropic materials, reduced to three independent wave equations]. Prikl. Mekh. Tekhn. Fiz., 1994, Vol. 35, No. 6, pp. 143–150 (in Russian).
     
  11. Borok V. M. O sistemah linejnyh uravnenij v chastnyh proizvodnyh s postoyannymi koehfficientami [On systems of linear partial differential equations with constant coefficients]. Izv. VUZov. Matematika, 1957, No. 1, pp. 45–65 (in Russian).
     
  12. Ostrosablin N. I. Obshchee reshenie i privedenie sistemy uravnenij linejnoj izotropnoj uprugosti k diagonal’nomu vidu [General solution and reduction of the system of equations of linear isotropic elasticity to a diagonal form]. Sib. Zhurn. Indust. Mat., 2009, Vol. 12, No. 2, pp. 79–83 (in Russian).
     
  13. Polyanin A. D. Spravochnik po linejnym uravneniyam matematicheskoj fiziki [Handbook of linear equations of mathematical physics]. Moscow: Fizmatlit, 2001 (in Russian).
     
  14. Ostrosablin N. I. Funkcii kineticheskih napryazhenij v mehanike sploshnyh sred [Kinetic stress functions in continuum mechanics]. Dinamika Sploshnoi Sredy , 2007, Vyp. 125, pp. 76–116 (in Russian).
     
  15. Ostrosablin N. I., Ugryumov R. I. Obshchee reshenie sistemy uravnenij momentnoj linejnoj teorii uprugosti izotropnogo psevdokontinuuma Kossera [General solution of the system of equations of the moment linear theory of elasticity of the Kosser isotropic pseudocontinum]. Dokl. RAN. Fizika, Tehn. Nauki, 2024, Vol. 517, No. 1, pp. 36–40 (in Russian).
     
  16. Rossihin Yu. A., Shitikova M. V. Analiz nestacionarnyh voln v obolochkah iz psevdokontinuuma Kossera [Analysis of unsteady waves in shells from the Kosser pseudocontinuum]. Uchyonye Zapiski Komsomol’Skogo-Na-Amure GTU [Scientific Notes of Komsomolsk-on-Amur State Technical Univ.], 2018, Vol. 35, No. III-1, pp. 80–85 (in Russian).
     
  17. Antonov A. M., Erofeev V. I. Rasprostranenie volny Rehleya vdol’ granicy poluprostranstva, opisyvaemogo uproshchyonnoj model’yu Kossera [Rayleigh wave propagation along the boundary of a half-space described by a simplified Kosser model]. Problemy Prochnosti i Plastichnosti [Problems of strength and plasticity], 2019, Vol. 81, No. 3, pp. 333–344 (in Russian).
     
  18. Pavlov I. S., Murav’yova A. V. Tryohmernaya gradientnaya model’ polubeskonechnoj geosredy [Threedimensional gradient model of a semi-infinite geo environment]. Problemy Prochnosti i Plastichnosti [Problems of strength and plasticity], 2022, Vol. 84, No. 4, pp. 480–492 (in Russian).