Восстановление трехмерных векторных полей по значениям нормального, продольных и весовых преобразований Радона

Восстановление трехмерных векторных полей по значениям нормального, продольных и весовых преобразований Радона

Светов И. Е., Полякова А. П.
Сибирский журнал индустриальной математики, 26, 4(96), 125-142 (2023)
Скачать статью

УДК 517.44 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2023.26.409

Аннотация:

В работе рассматривается задача векторной томографии по восстановлению трёхмерного векторного поля по значениям безвесовых (нормального и продольных) и весовых преобразований Радона. С использованием полученного в работе детального разложения векторных полей установлены связи безвесовых и весовых преобразований Радона, действующих на векторные поля, и преобразования Радона, действующего на функции. В частности, описаны ядра томографических интегральных операторов, действующих на векторные поля. Рассмотрены некоторые варианты постановок задач томографии по восстановлению векторных полей и получены формулы обращения для их решения.

Литература:
  1. Ludwig D. The Radon transform on Euclidean space // Commun. Pure Appl. Math. 1966. V. 19. P. 49– 81; DOI: 10.1002/cpa.3160190105
     
  2. Helgason S. The Radon Transform. Progress in Mathematics, V. 5. N. Y.: Springer, 1999.
     
  3. Louis A. K. Uncertainty, ghosts, and resolution in Radon problems // The Radon Transform. 2019. P. 169–188; DOI: 10.1515/9783110560855-008
     
  4. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. М.: Мир, 1990.
     
  5. Шарафутдинов В. А. Интегральная геометрия тензорных полей. Новосибирск: Наука, 1993.
     
  6. Sparr G., Strahlen K., Lindstrem K., Persson H. W. Doppler tomography for vector fields // Inverse Probl. 1995. V. 11, N 5. P. 1051–1061; DOI: 10.1088/0266-5611/11/5/009
     
  7. Schuster T. 20 years of imaging in vector field tomography: a review // Mathematical Methods in Biomedical Imaging and Intensity-Modulated Dariation Therapy (IMRT). 2008. P. 389–424.
     
  8. Полякова А. П. Восстановление векторного поля в шаре по его нормальному преобразованию Радона // Вест. НГУ. Сер. мат. мех. информ. 2013. Т. 13, № 4. С. 119–142.
     
  9. Светов И. Е. Метод приближённого обращения для операторов преобразования Радона функций и нормального преобразования Радона векторных и симметричных 2-тензорных полей в $\mathbb {R}^3$ // Сиб. электрон. матем. изв. 2020. Т. 17. С. 1073–1087; DOI: 10.33048/semi.2020.17.081
     
  10. Prince J. L. Tomographic reconstruction of 3-d vector fields using inner product probes // IEEE Trans. Image Process. 1995. V. 3, N 2. P. 216–219; DOI: 10.1109/83.277903
     
  11. Kunyansky L. A mathematical model and inversion procedure for magneto-acousto-electric tomography // Inverse Probl. 2012. V. 28, N 3. Article 035002; DOI: 10.1088/0266-5611/28/3/035002
     
  12. Ammari H., Grasland-Mongrain P., Millien P., Seppecher L, Seo J.-K. A mathematical and numerical framework for ultrasonically-induced Lorentz force electrical impedance tomography // J. Math. Pures Appl. 2015. V. 103, N 6. P. 1390–1409; DOI: 10.1016/j.matpur.2014.11.003
     
  13. Kunyansky L., McDugald E., Shearer B. Weighted Radon transforms of vector fields, with applications to magnetoacoustoelectric tomography // Inverse Problems. 2023. V. 39, N 6. Article 065014; DOI: 10.1088/1361-6420/acd07a
     
  14. Derevtsov E. Yu., Svetov I. E. Tomography of tensor fields in the plain // Eurasian J. Math. Comput. Appl. 2015. V. 3, N 2. P. 24–68.
     
  15. Louis A. K. Inversion formulae for ray transforms in vector and tensor tomography // Inverse Probl. 2022. V. 38, N 6. Article 065008; DOI: 10.1088/1361-6420/ac6379
     
  16. Borchers W., Sohr H. On the equations rot $v = g$ and div $u = f$ with zero boundary conditions // Hokkaido Math. J. 1990. V. 19. P. 67–87; DOI: 10.14492/HOKMJ/1381517172
     
  17. Backus G. E. Poloidal and toroidal fields in geomagnetic field modeling // Rev. Geophys. 1986. V. 24, N 1. P. 75–109; DOI: 10.1029/rg024i001p00075
     
  18. Казанцев С. Г., Кардаков В. Б. Полоидально-тороидальное разложение соленоидальных векторных полей в шаре // Сиб. журн. индустр. матем. 2019. Т. 22, № 3. С. 74–95; DOI: 10.33048/sibjim.2019.22.307
     
  19. Светов И. Е., Полякова А. П. Разложение симметричных тензорных полей в $\mathbb {R}^3$ // Сиб. журн. индустр. матем. 2023. Т. 26, № 1. С. 161–178; DOI: 10.33048/SIBJIM.2023.26.115
     
  20. Weyl Н. The method of ortogonal projection in potential theory // Duke Math. J. 1940. V. 7, N 1. P. 411–444; DOI: 10.1215/S0012-7094-40-00725-6
     
  21. Svetov I. E., Derevtsov E. Yu., Volkov Yu. S., Schuster T. A numerical solver based on B-splines for 2D vector field tomography in a refracting medium // Math. Comput. Simul. 2014. V. 97. P. 207–223; DOI: 10.1016/j.matcom.2013.10.002

Работа выполнена в рамках госзадания Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН (проект FWNF2022-0009).

И. Е. Светов
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    просп. Акад. Коптюга, 4, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: svetovie@math.nsc.ru

А. П. Полякова
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    просп. Акад. Коптюга, 4, г. Новосибирск 630090, Россия

E-mail: apolyakova@math.nsc.ru

Статья поступила 19.05.2023 г.
После доработки — 13.09.2023 г.
Принята к публикации 01.11.2023 г.

Abstract:

The paper considers the vector tomography problem of reconstructing a three-dimensional vector field based on the values of unweighted (normal and longitudinal) and weighted Radon transforms. Using the detailed decomposition of vector fields obtained in the paper, connections are established between the unweighted and weighted Radon transforms acting on vector fields and the Radon transform acting on functions. In particular, the kernels of tomographic integral operators acting on vector fields are described. Some statements of tomography problems for the reconstruction of vector fields are considered, and inversion formulas for their solution are obtained.

References:
  1. D. Ludwig, “The Radon transform on Euclidean space,” Commun. Pure Appl. Math. 19, 49–81 (1966). https://doi.org/10.1002/cpa.3160190105
     
  2. S. Helgason, The Radon Transform. Vol. 5 of Progress in Mathematics (Springer, New York, 1999).
     
  3. A. K. Louis, “Uncertainty, ghosts, and resolution in Radon problems,” in The Radon Transform: The First 100 Years and Beyond (Berlin—Boston: De Gruyter, 2019), pp. 169–188. https://doi.org/10.1515/9783110560855-008
     
  4. F. Natterer, The Mathematics of Computerized Tomography (SIAM, Philadelphia, 1986; Mir, Moscow, 1990).
     
  5. V. A. Sharafutdinov, Integral Geometry of Tensor Fields (Nauka, Novosibirsk, 1993; De Gruyter, Berlin, 1994). https://doi.org/10.1515/9783110900095
     
  6. G. Sparr, K. Strahlen, K. Lindstrem, and H. W. Persson, “Doppler tomography for vector fields,” Inverse Probl. 11 (5), 1051–1061 (1995). https://doi.org/10.1088/0266-5611/11/5/009
     
  7. T. Schuster, “20 years of imaging in vector field tomography: A review,” in Mathematical Methods in Biomedical Imaging and Intensity-Modulated Radiation Therapy (IMRT) (2008), pp. 389–424.
     
  8. A. P. Polyakova, “Reconstruction of a vector field in a ball from its normal Radon transform,” Vestn. NGU. Ser. Mat. Mekh. Inf. 13 (4), 119–142 (2013) [J. Math. Sci. 205 (3), 418–439 (2015) https://doi.org/10.1007/s10958-015-2256-1].
     
  9. I. E. Svetov, “Approximate inversion method for the Radon transform operators of functions and the normal Radon transform of vector and symmetric 2-tensor fields in $\mathbb {R}^3$ ,” Sib. Elektron. Mat. Izv. 17, 1073–1087 (2020) [in Russian]. https://doi.org/10.33048/semi.2020.17.081
     
  10. J. L. Prince, “Tomographic reconstruction of 3-d vector fields using inner product probes,” IEEE Trans. Image Process. 3 (2), 216–219 (1995). https://doi.org/10.1109/83.277903
     
  11. L. Kunyansky, “A mathematical model and inversion procedure for magneto-acousto-electric tomography,” Inverse Probl. 28 (3), 035002 (2012). https://doi.org/10.1088/0266-5611/28/3/035002
     
  12. H. Ammari, P. Grasland-Mongrain, P. Millien, L. Seppecher, and J.-K. Seo, “A mathematical and numerical framework for ultrasonically-induced Lorentz force electrical impedance tomography,” J. Math. Pures Appl. 103 (6), 1390–1409 (2015). https://doi.org/10.1016/j.matpur.2014.11.003
     
  13. L. Kunyansky, E. McDugald, and B. Shearer, “Weighted Radon transforms of vector fields, with applications to magnetoacoustoelectric tomography,” Inverse Probl. 39 (6), 065014 (2023). https://doi.org/10.1088/1361-6420/acd07a
     
  14. E. Yu. Derevtsov and I. E. Svetov, “Tomography of tensor fields in the plain,” Eurasian J. Math. Comput. Appl. 3 (2), 24–68 (2015).
     
  15. A. K. Louis, “Inversion formulae for ray transforms in vector and tensor tomography,” Inverse Probl. 38 (6), 065008 (2022). https://doi.org/10.1088/1361-6420/ac6379
     
  16. W. Borchers and H. Sohr, “On the equations rot $v = g$ and div $u = f$ with zero boundary conditions,” Hokkaido Math. J. 19, 67–87 (1990). https://doi.org/10.14492/HOKMJ/1381517172
     
  17. G. E. Backus, “Poloidal and toroidal fields in geomagnetic field modeling,” Rev. Geophys. 24 (1), 75–109 (1986). https://doi.org/10.1029/rg024i001p00075
     
  18. S. G. Kazantsev and V. B. Kardakov, “Poloidal-toroidal decomposition of solenoidal vector fields in the ball,” Sib. Zh. Ind. Mat. 22 (3), 74–95 (2019) https://doi.org/10.33048/sibjim.2019.22.307 [J. Appl. Ind. Math. 13 (3), 480–499 (2019) https://doi.org/10.1134/S1990478919030098].
     
  19. I. E. Svetov and A. P. Polyakova, “Decomposition of symmetric tensor fields in $\mathbb {R}^3$,” Sib. Zh. Ind. Mat. 26 (1), 161–178 (2023) https://doi.org/10.33048/SIBJIM.2023.26.115 [J. Appl. Ind. Math. 17 (1), 199– 212 (2023) https://doi.org/10.1134/S1990478923010222].
     
  20. H. Weyl, “The method of orthogonal projection in potential theory,” Duke Math. J. 7 (1), 411–444 (1940). https://doi.org/10.1215/S0012-7094-40-00725-6
     
  21. I. E. Svetov, E. Yu. Derevtsov, Yu. S. Volkov, and T. Schuster, “A numerical solver based on B-splines for 2D vector field tomography in a refracting medium,” Math. Comput. Simul. 97, 207–223 (2014). https://doi.org/10.1016/j.matcom.2013.10.002