Анализ и численное моделирование начально-краевой задачи для квазилинейных уравнений сложного теплообмена

Анализ и численное моделирование начально-краевой задачи для квазилинейных уравнений сложного теплообмена

Чеботарев А. Ю., Пак Н. М., Ковтанюк А. Е.
Сибирский журнал индустриальной математики, 26, 4(96), 180–193 (2023)
Скачать статью

УДК 517.977.5 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2023.26.412

Аннотация:

Рассматривается начально-краевая задача для квазилинейных уравнений сложного теплообмена, моделирующих процесс внутривенной лазерной абляции. Получены априорные оценки решения. Представлены результаты о глобальной однозначной разрешимости задачи. Предложен алгоритм нахождения решения начально-краевой задачи, эффективность которого проиллюстрирована численными примерами. Проведена оценка влияния внутреннего теплового излучения на поведение температурных полей.

Литература:
  1. Beale R. J., Mavor A. I. D., Gough M. J. Minimally invasive treatment for varicose veins: a review of endovenous laser treatment and radiofrequency ablation // Int. J. Low. Extrem. Wounds. 2004. V. 3, N 4. P. 188–197; DOI: 10.1177/1534734604272245
     
  2. Morrison N. Saphenous ablation: what are the choices, laser or RF energy // Semin. Vasc. Surg. 2005. V. 18, N 1. P. 15–18; DOI: 10.1053/j.semvascsurg.2004.12.006
     
  3. Mordon S., Wassmer B., Zemmouri J. Mathematical modeling of endovenous laser treatment (EVLT) // Biomed. Eng. Online. 2006. V. 5, N 1. Article 26; DOI: 10.1186/1475-925X-5-26
     
  4. Mordon S., Wassmer B., Zemmouri J. Mathematical modeling of 980-nm and 1320-nm endovenous laser treatment // Lasers Surg. Med. 2007. V. 39. P. 256–265; DOI: 10.1002/lsm.20476
     
  5. Malskat W. S. J., Poluektova A. A., van der Geld C. W. M., Neumann H. A. M., Weiss R. A., Bruijninckx C. M. A., van Gemert M. J. C. Endovenous laser ablation (EVLA): A review of mechanisms, modeling outcomes, and issues for debate // Lasers Med. Sci. 2014. V. 29, N 2. P. 393–403; DOI: 10.1007/s10103-013-1480-5
     
  6. Poluektova A. A., Malskat W. S. J., van Gemert M. J. C., Vuylsteke M. E., Bruijninckx C. M. A., Neumann H. A. M., van der Geld C. W. M. Some controversies in endovenous laser ablation of varicose veins addressed by optical-thermal mathematical modeling // Lasers Med. Sci. 2014. V. 29, N 2. P. 441– 452; DOI: 10.1007/s10103-013-1450-y
     
  7. van Ruijven P. W., Poluektova A. A., van Gemert M. J., Neumann H. A., Nijsten T., van der Geld C. W. Optical-thermal mathematical model for endovenous laser ablation of varicose veins // Lasers Med. Sci. 2014. V. 29, N 2. P. 431–439; DOI: 10.1007/s10103-013-1451-x
     
  8. Тучин В. В. Оптика биологических тканей. Методы рассеяния света в медицинской диагностике. М.: Физматлит, 2013.
     
  9. Chebotarev A. Yu., Park N. M., Mesenev P. R., Kovtanyuk A. E. Mathematical modeling of complex heat transfer in the context of the endovenous laser ablation // J. Phys. Conf. Ser. 2023. V. 2514. Article 012006; DOI: 10.1088/1742-6596/2514/1/012006
     
  10. Ковтанюк А. Е., Чеботарев А. Ю., Астраханцева А. А., Сущенко А. А. Оптимальное управление внутривенной лазерной абляцией // Оптика и спектроскопия. 2020. Т. 128, № 9. С. 1396–1404; DOI: 10.21883/OS.2020.09.49882.242-20
     
  11. Kovtanyuk A. E., Chebotarev A. Yu., Astrakhantseva A. A. Inverse extremum problem for a model of endovenous laser ablation // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2021. V. 29, N 3. P. 467–476; DOI: 10.1515/jiip-2020-0118
     
  12. Chebotarev A. Y., Grenkin G. V., Kovtanyuk A. E., Botkin N. D., Hoffmann K.-H. Diffusion approximation of the radiative-conductive heat transfer model with Fresnel matching conditions // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 2018. V. 57. P. 290–298; DOI: 10.1016/j.cnsns.2017.10.004
     
  13. Hecht F. New development in freefem++ // J. Numer. Math. 2012. V. 20, N 3–4. P. 251–265; DOI: 10.1515/jnum-2012-0013

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 23-21-00087).

А. Ю. Чеботарев
  1. Дальневосточный федеральный университет, Дальневосточный центр математических исследований, 
    п. Аякс, 10, о. Русский, г. Владивосток 690922, Россия

E-mail: chebotarev.ayu@dvfu.ru

Н. М. Пак
  1. Дальневосточный федеральный университет, Дальневосточный центр математических исследований, 
    п. Аякс, 10, о. Русский, г. Владивосток 690922, Россия

E-mail: pak.nm@dvfu.ru

А. Е. Ковтанюк
  1. Дальневосточный федеральный университет, Дальневосточный центр математических исследований, 
    п. Аякс, 10, о. Русский, г. Владивосток 690922, Россия

E-mail: kovtanyuk.ae@dvfu.ru

Статья поступила 01.08.2023 г.
После доработки — 29.09.2023 г.
Принята к публикации 01.11.2023 г.

Abstract:

We consider an initial-boundary value problem for quasilinear equations of complex heat transfer that model the process of endovenous laser ablation. A priori estimates for the solution are obtained. Results on the global unique solvability of the problem are presented. An algorithm for finding a solution of the initial-boundary value problem is proposed. The efficiency of the algorithm is illustrated by numerical examples. The influence of internal thermal radiation on the behavior of temperature fields is evaluated.

References:
  1. R. J. Beale, A. I. D. Mavor, and M. J. Gough, “Minimally invasive treatment for varicose veins: a review of endovenous laser treatment and radiofrequency ablation,” Int. J. Lower Extremity Wounds 3 (4), 188–197 (2004). https://doi.org/10.1177/1534734604272245
     
  2. N. Morrison, “Saphenous ablation: what are the choices, laser or RF energy,” Semin. Vasc. Surg. 18 (1), 15–18 (2005). https://doi.org/10.1053/j.semvascsurg.2004.12.006
     
  3. S. Mordon, B. Wassmer, and J. Zemmouri, “Mathematical modeling of endovenous laser treatment (EVLT),” Biomed. Eng. Online 5 (1), 26 (2006). https://doi.org/10.1186/1475-925X-5-26
     
  4. S. Mordon, B. Wassmer, and J. Zemmouri, “Mathematical modeling of 980-nm and 1320-nm endovenous laser treatment,” Lasers Surg. Med. 39, 256–265 (2007). https://doi.org/10.1002/lsm.20476
     
  5. W. S. J. Malskat, A. A. Poluektova, C. W. M. van der Geld, H. A. M. Neumann, R. A. Weiss, C. M. A. Bruijninckx, and M. J. C. van Gemert, “Endovenous laser ablation (EVLA): A review of mechanisms, modeling outcomes, and issues for debate,” Lasers Med. Sci. 29 (2), 393–403 (2014). https://doi.org/10.1007/s10103-013-1480-5
     
  6. A. A. Poluektova, W. S. J. Malskat, M. J. C. van Gemert, M. E. Vuylsteke, C. M. A. Bruijninckx, H. A. M. Neumann, and C. W. M. van der Geld, “Some controversies in endovenous laser ablation of varicose veins addressed by optical-thermal mathematical modeling,” Lasers Med. Sci. 29 (2), 441–452 (2014). https://doi.org/10.1007/s10103-013-1450-y
     
  7. P. W. van Ruijven, A. A. Poluektova, M. J. van Gemert, H. A. Neumann, T. Nijsten, and C. W. van der Geld, “Optical-thermal mathematical model for endovenous laser ablation of varicose veins,” Lasers Med. Sci. 29 (2), 431–439 (2014). https://doi.org/10.1007/s10103-013-1451-x
     
  8. V. V. Tuchin, Optics of Biological Tissues. Light Scattering Methods in Medical Diagnostics (Fizmatlit, Moscow, 2013) [in Russian].
     
  9. A. Yu. Chebotarev, N. M. Park, P. R. Mesenev, and A. E. Kovtanyuk, “Mathematical modeling of complex heat transfer in the context of the endovenous laser ablation,” J. Phys. Conf. Ser. 2514, 012006 (2023). https://doi.org/10.1088/1742-6596/2514/1/012006
     
  10. A. E. Kovtanyuk, A. Yu. Chebotarev, A. A. Astrakhantseva, and A. A. Sushchenko, “Optimal control of endovenous laser ablation,” Opt. Spectrosc. 128 (9), 1508–1516 (2020). https://doi.org/10.1134/S0030400X20090131
     
  11. A. E. Kovtanyuk, A. Yu. Chebotarev, and A. A. Astrakhantseva, “Inverse extremum problem for a model of endovenous laser ablation,” J. Inverse Ill-Posed Probl. 29 (3), 467–476 (2021). https://doi.org/10.1515/jiip-2020-0118
     
  12. A. Y. Chebotarev, G. V. Grenkin, A. E. Kovtanyuk, N. D. Botkin, and K.-H. Hoffmann, “Diffusion approximation of the radiative-conductive heat transfer model with Fresnel matching conditions,” Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 57, 290–298 (2018). https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2017.10.004
     
  13. F. Hecht, “New development in freefem++,” J. Numer. Math. 20 (3–4), 251–265 (2012). https://doi.org/10.1515/jnum-2012-0013