Структура двухслойного течения в канале с радиальным нагревом нижней подложки при малых числах марангони

Структура двухслойного течения в канале с радиальным нагревом нижней подложки при малых числах Марангони

Андреев В. К., Ефимова М. В.
Сибирский журнал индустриальной математики, 27, 2(987), 5-19 (2024)
Скачать статью

УДК 532.6 
DOI: 10.33048/SIBJIM.2024.27.201

Аннотация:

Исследовано трёхмерное течение системы вязкой теплопроводной жидкости и бинарной смеси с общей поверхностью раздела в слое, ограниченном твёрдыми стенками. На нижней подложке задано радиальное нестационарное распределение температуры, верхняя стенка считается теплоизолированной. В предположении малости числа Марангони описана структура стационарного течения в зависимости от отношения толщин слоёв с учётом влияния массовых сил. Решение нестационарной задачи определено в изображениях по Лапласу в виде квадратур. Показано, что если заданная температура на нижней подложке стабилизируется со временем, то решение с ростом времени выходит на полученный стационарный режим только при определённых условиях на начальное распределение концентрации в смеси.

Литература:
  1. Hiemenz K. Die Grenzschicht an einem in den gleichformigen Flussigkeitsstrom eingetauchten geraden Kreiszylinder // Dinglers Poliytech. J. 1911. V. 326. P. 321–440.
     
  2. Lin C. C. Note on a class of exact solutions in magnetohydrodynamics // Arch. Ration. Mech. Anal. 1958. V. 1. P. 391–395.
     
  3. Bekezhanova V. B., Andreev V. K., Shefer I. A. Influence of heat defect on the characteristics of a two-layer flow with the Hiemenz-type velocity // Interfacial Phenom. Heat Transf. 2019. V. 7, N 4. P. 345–364; DOI: 10.1615/InterfacPhenomHeatTransfer.2020032777
     
  4. Lemeshkova E. N. Two-Dimensional Plane Steady-State Thermocapillary Flow // Fluid Dyn. 2019. V. 54, N 1. P. 33–41; DOI: 10.1134/S0015462819010087
     
  5. Efimova M. V. Construction of an Exact Solution of Special Type for the 3D Problem of Thermosolutal Convection in Two Layered System // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 2023. V. 16, N 1. P. 26–34.
     
  6. Андреев В. К. Конвекция двух жидких сред в трёхмерном слое при малых числах Марангони. Красноярск: ИВМ СО РАН, 2022.
     
  7. Андреев В. К. Термокапиллярная неустойчивость. Новосибирск: Наука, 2000.
     
  8. Зейтунян Р. Х. Проблема термокапиллярной неустойчивости Бенара—Марангони // Успехи физ. наук. 1998. V. 168. P. 259–286; DOI: 10.3367/UFNr.0168.199803b.0259
     
  9. Nepomnyashchy A. A., Velarde M., Colinet P. Interfacial Phenomena and Convection. Boca Raton: CRC Press, 2001.
     
  10. Pukhnachov V. V. Model of a viscous layer deformation by thermocapillary forces // J. Appl. Math. 2002. V. 13. P. 205–224; DOI: 10.1017/S0956792501004776
     
  11. Ефимова М. В., Дараби Н. Термоконцентрационная конвекция в системе вязкой жидкости и бинарной смеси в плоском канале при малых числах Марангони // Прикл. механика и техн. физика. 2018. V. 59, N 5. P. 93–103; DOI: 10.15372/PMTF20180511
     
  12. Аристов С. Н., Князев Д. В., Полянин А. Д. Точные решения уравнений Навье—Стокса с линейной зависимостью компонент скорости от двух пространственных переменных // Теоретич. основы хим. технол. 2009. V. 43, N 5. P. 547–566.
     
  13. Пухначев В. В., Пухначева Т. П. Трёхмерное нестационарное термокапиллярное течение вязкой жидкости// Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2002. V. 2, N 30. P. 96–104.
     
  14. Magdenko E. P. Axisymmetric thermocapillary motion in a cylinder at small Marangoni number // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 2015. V. 8, N 3. P. 303–311; DOI: 10.17516/1997-1397-2015-8-3-303-311
     
  15. Sobachkina N. L. Unsteady flow of two binary mixtures in a cylindrical capillary with changes in the internal energy of the interface // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 2022. V. 15, N 5. P. 623–634; DOI: 10.17516/1997-1397-2022-15-5-623-634
     
  16. Лаврентьев М. К. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.
     
  17. Andreev V. K., Stepanova I. V. Non-stationary unidirectional motion of binary mixture in long flat layer // Int. J. Appl. Comput. Math. 2020. V. 6, N 6. Article 169; DOI: 10.1007/s40819-020-00924-0
     
  18. Hoog F. R., Knight J. H., Stokes A. N. An improved method for numerical inversion of Laplace transforms // SIAM J. Sci. Statist. Comput. 1982. V. 3, N 3. P. 357–366; DOI: 10.1137/0903022

Данная работа финансировалась за счёт средств бюджета Института вычислительного моделирования СО РАН. Других источников финансирования проведения или руководства данным конкретным исследованием не было.

В. К. Андреев
  1. Институт вычислительного моделирования СО РАН, 
    ул. Академгородок, 50/44, г. Красноярск 660036, Россия

E-mail: andr@icm.krasn.ru

М. В. Ефимова
  1. Институт вычислительного моделирования СО РАН, 
    ул. Академгородок, 50/44, г. Красноярск 660036, Россия

E-mail: efmavi@mail.ru

Статья поступила 09.08.2023 г.
После доработки — 05.04.2024 г.
Принята к публикации 17.04.2024 г.

Abstract:

The three-dimensional flow of a system of a viscous heat-conducting fluid and a binary mixture with a common interface in a layer bounded by solid walls is studied. A radial time-varying temperature distribution is specified on the lower substrate; the upper wall is assumed to be thermally insulated. Assuming a small Marangoni number, the structure of a steady-state flow is described depending on the layer thickness ratio and taking into account the influence of mass forces. The solution of the nonstationary problem is determined in Laplace transforms by quadratures. It is shown that if the given temperature on the lower substrate stabilizes over time, then with increasing time the solution reaches the resulting steady-state mode only under certain conditions on the initial distribution of concentrations in the mixture.

References:
  1. K. Hiemenz, “Die Grenzschicht an einem in den gleichformigen Flussigkeitsstrom eingetauchten geraden Kreiszylinder,” Dinglers Polytech. J. 326, 321–440 (1911).
     
  2. C. C. Lin, “Note on a class of exact solutions in magnetohydrodynamics,” Arch. Ration. Mech. Anal. 1, 391–395 (1958).
     
  3. V. B. Bekezhanova, V. K. Andreev, and I. A. Shefer, “Influence of heat defect on the characteristics of a two-layer flow with the Hiemenz-type velocity,” Interfacial Phenom. Heat Transfer 7 (4), 345–364 (2019). https://doi.org//10.1615/InterfacPhenomHeatTransfer.2020032777
     
  4. E. N. Lemeshkova, “Two-dimensional plane steady-state thermocapillary flow,” Fluid Dyn. 54 (1), 33–41 (2019). https://doi.org//10.1134/S0015462819010087
     
  5. M. V. Efimova, “Construction of an exact solution of special type for the 3D problem of thermosolutal convection in two layered system,” J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 16 (1), 26–34 (2023).
     
  6. V. K. Andreev, Convection of Two Liquid Media in a Three-Dimensional Layer for Small Marangoni Numbers (ICM SB RAS, Krasnoyarsk, 2022) [in Russian].
     
  7. V. K. Andreev, Thermocapillary Instability (Nauka, Novosibirsk, 2000) [in Russian].
     
  8. R. Kh. Zeytounian, “The Benard—Marangoni thermocapillary-instability problem,” Phys.–Usp. 41 (3), 241–267 (1998). https://doi.org/10.1070/PU1998v041n03ABEH000374
     
  9. A. A. Nepomnyashchy, M. Velarde, and P. Colinet, Interfacial Phenomena and Convection (CRC Press, Boca Raton, 2001).
     
  10. V. V. Pukhnachov, “Model of a viscous layer deformation by thermocapillary forces,” J. Appl. Math. 13, 205–224 (2002). https://doi.org/10.1017/S0956792501004776
     
  11. M. V. Efimova and N. Darabi, “Thermal-concentration convection in a system of viscous liquid and binary mixture in a plane channel with small Marangoni numbers,” J. Appl. Mech. Tech. Phys. 59 (5), 847–856 (2018). https://doi.org/10.1134/S0021894418050115
     
  12. S. N. Aristov, D. V. Knyazev, and A. D. Polyanin, “Exact solutions of the Navier—Stokes equations with the linear dependence of velocity components on two space variables,” Theor. Found. Chem. Eng. 43 (5), 642–662 (2009). 
     
  13. V. V. Pukhnachev and T. P. Pukhnacheva, “Three-dimensional nonstationary thermocapillary flow of a viscous liquid,” Vestn. KazNU Ser. Mat. Mekh. Inf. 2 (30), 96–104 (2002) [in Russian].
     
  14. E. P. Magdenko, “Axisymmetric thermocapillary motion in a cylinder at small Marangoni number,” J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 8 (3), 303–311 (2015). https://doi.org/10.17516/1997-1397-2015-8-3-303-311
     
  15. N. L. Sobachkina, “Unsteady flow of two binary mixtures in a cylindrical capillary with changes in the internal energy of the interface,” J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 15 (5), 623–634 (2022). https://doi.org/10.17516/1997-1397-2022-15-5-623-634
     
  16. M. A. Lavrent’ev and B.V. Shabat, Methods of the Theory of Functions of a Complex Variable (Nauka, Moscow, 1973) [in Russian].
     
  17. V. K. Andreev and I. V. Stepanova, “Non-stationary unidirectional motion of binary mixture in long flat layer,” Int. J. Appl. Comput. Math. 6 (6), 169 (2020). https://doi.org/10.1007/s40819-020-00924-0
     
  18. F. R. Hoog, J. H. Knight, and A. N. Stokes, “An improved method for numerical inversion of Laplace transforms,” SIAM J. Sci. Stat. Comput. 3 (3), 357–366 (1982). https://doi.org/10.1137/0903022